Condizioni su matrice unitaria
Devo trovare una matrice unitaria $U$ tale che
\[\frac{1}{\sqrt 2}\left [
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\right]=U
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Non ci sono troppe condizioni da imporre?
Trovo che la matrice deve essere
\[U=\frac{1}{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1 & a & b & c \\
0 & d & e & f \\
0 & g & h & i \\
1 & l & m & n
\end{pmatrix}
\]
e imponendo la condizione di unitarietà trovo una sfilza di condizioni da imporre e che non riesco a gestire...potete darmi qualche suggerimento?
\[\frac{1}{\sqrt 2}\left [
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\right]=U
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Non ci sono troppe condizioni da imporre?
Trovo che la matrice deve essere
\[U=\frac{1}{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1 & a & b & c \\
0 & d & e & f \\
0 & g & h & i \\
1 & l & m & n
\end{pmatrix}
\]
e imponendo la condizione di unitarietà trovo una sfilza di condizioni da imporre e che non riesco a gestire...potete darmi qualche suggerimento?
Risposte
Effettivamente, se si vuol ragionare con la massima generalità, il problema diventa di difficile gestione. Tuttavia, dato che mi pare che il quesito richiede solo di esibire una certa matrice $U$ e non tutte quelle possibili, ritengo che si possa restringere la ricerca alle matrici $U$ che presentano qualche particolarità.
Intanto , indicando con $U^*$ la trasposta coniugata di $U$, deve essere :
(1) $U cdot U^* =U^* cdot U=I$
Nei reali la trasposta coniugata di U coincide con la trasposta $U^t$ e quindi la (1) diventa:
(2) $U cdot U^t =U^t cdot U=I$
Come prima scrematura ( se si può dire così
) proporrei di scegliere per U una matrice simmetrica :
\(\displaystyle U=\frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1&0&0&1\\0&a&d&e\\0&d&b&f\\1&e&f&c\end{pmatrix} \)
e così la (2) diventa :
(3) $U^2=I$
Ricordando che nei reali una matrice unitaria ( simmetrica) è ortogonale , possiamo imporre le condizioni di ortogonalità per righe :
\(\displaystyle \begin{cases} a^2+d^2+e^2=2\\d^2+b^2+f^2=2\\e^2+f^2+c^2=1\\e=0\\f=0\\c=-1\\ad+db+ef=0\\ae+df+ec=0\\de+bf+fc=0 \end{cases} \)
Con qualche facile calcolo il sistema precedente si riduce a :
\(\displaystyle \begin{cases} a^2+d^2=2\\d^2+b^2=2\\e=0\\f=0\\c=-1\\d(a+b)=0 \end{cases} \)
Una possibile soluzione è :
$a=1,b=-1,c=-1,d=-1,e=0,f=0$
e dunque :
\(\displaystyle U=\frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1&0&0&1\\0&1&-1&0\\0&-1&-1&0\\1&0&0&-1\end{pmatrix} \)
Intanto , indicando con $U^*$ la trasposta coniugata di $U$, deve essere :
(1) $U cdot U^* =U^* cdot U=I$
Nei reali la trasposta coniugata di U coincide con la trasposta $U^t$ e quindi la (1) diventa:
(2) $U cdot U^t =U^t cdot U=I$
Come prima scrematura ( se si può dire così
) proporrei di scegliere per U una matrice simmetrica :\(\displaystyle U=\frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1&0&0&1\\0&a&d&e\\0&d&b&f\\1&e&f&c\end{pmatrix} \)
e così la (2) diventa :
(3) $U^2=I$
Ricordando che nei reali una matrice unitaria ( simmetrica) è ortogonale , possiamo imporre le condizioni di ortogonalità per righe :
\(\displaystyle \begin{cases} a^2+d^2+e^2=2\\d^2+b^2+f^2=2\\e^2+f^2+c^2=1\\e=0\\f=0\\c=-1\\ad+db+ef=0\\ae+df+ec=0\\de+bf+fc=0 \end{cases} \)
Con qualche facile calcolo il sistema precedente si riduce a :
\(\displaystyle \begin{cases} a^2+d^2=2\\d^2+b^2=2\\e=0\\f=0\\c=-1\\d(a+b)=0 \end{cases} \)
Una possibile soluzione è :
$a=1,b=-1,c=-1,d=-1,e=0,f=0$
e dunque :
\(\displaystyle U=\frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1&0&0&1\\0&1&-1&0\\0&-1&-1&0\\1&0&0&-1\end{pmatrix} \)
Grazie mille, sei stato chiaro! Non avevo pensato a restringere il campo a particolari tipi di matrici, ma in effetti è la strada migliore per ricondursi a pochi parametri liberi ed ottenere di conseguenza degli esempi specifici...lavorare nella massima generalità invece non so quanto possa essere fruttuoso, anche solo come considerazioni qualitative
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