Condizione necessaria e sufficiente di diagonalizzabilità
Salve a tutti!
Avrei bisogno di un aiutino per sciogliere un dubbio.
Riporto da una lezione del vostro sito:
Un’applicazione lineare $f : V \to V$ è diagonalizzabile se e solo se esiste una base in $V$ formata da autovettori di $f$.
Dimostrazione. Supponiamo $f$ diagonalizzabile; allora esiste una base $B = {b_1,...,b_n}$
di $V$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $f$ è diagonale. Ma allora per definizione di matrice rappresentativa si ha
$f(b_1) = a_1b_1,...,f(b_n) = a_nb_n$ per certi coefficienti $a_1,...,a_n in K$. Ne segue che $b_1,...,b_n$ sono autovettori per $f$.
Viceversa supponiamo che esista una base $B = {b_1,...,b_n}$ di $V$ formata da autovettori di $f$; allora
$f(b_1) = a_1b_1,...,f(b_n) = a_nb_n$ per certi coefficienti $a_1, . . . , a_n in K$. Dunque la matrice che rappresenta $f$ rispetto
a $B$ è diagonale.
Il discorso fila, è semplice da seguire e con un linguaggio molto comprensibile.
Ma vorrei capire qual'è la deduzione che porta alla tesi, cioè, non mi è molto chiaro quel "Dunque la matrice...è diagonale".
Chi sarebbe così gentile da spiegarmi ben bene questa cosuccia?
Grazie in anticipo!
Avrei bisogno di un aiutino per sciogliere un dubbio.
Riporto da una lezione del vostro sito:
Un’applicazione lineare $f : V \to V$ è diagonalizzabile se e solo se esiste una base in $V$ formata da autovettori di $f$.
Dimostrazione. Supponiamo $f$ diagonalizzabile; allora esiste una base $B = {b_1,...,b_n}$
di $V$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $f$ è diagonale. Ma allora per definizione di matrice rappresentativa si ha
$f(b_1) = a_1b_1,...,f(b_n) = a_nb_n$ per certi coefficienti $a_1,...,a_n in K$. Ne segue che $b_1,...,b_n$ sono autovettori per $f$.
Viceversa supponiamo che esista una base $B = {b_1,...,b_n}$ di $V$ formata da autovettori di $f$; allora
$f(b_1) = a_1b_1,...,f(b_n) = a_nb_n$ per certi coefficienti $a_1, . . . , a_n in K$. Dunque la matrice che rappresenta $f$ rispetto
a $B$ è diagonale.
Il discorso fila, è semplice da seguire e con un linguaggio molto comprensibile.
Ma vorrei capire qual'è la deduzione che porta alla tesi, cioè, non mi è molto chiaro quel "Dunque la matrice...è diagonale".
Chi sarebbe così gentile da spiegarmi ben bene questa cosuccia?
Grazie in anticipo!
Risposte
"spartans7":
Viceversa supponiamo che esista una base $B = {b_1,...,b_n}$ di $V$ formata da autovettori di $f$; allora
$f(b_1) = a_1b_1,...,f(b_n) = a_nb_n$ per certi coefficienti $a_1, . . . , a_n in K$. Dunque la matrice che rappresenta $f$ rispetto
a $B$ è diagonale.
Il discorso fila, è semplice da seguire e con un linguaggio molto comprensibile.
Ma vorrei capire qual'è la deduzione che porta alla tesi, cioè, non mi è molto chiaro quel "Dunque la matrice...è diagonale".
Chi sarebbe così gentile da spiegarmi ben bene questa cosuccia?
Grazie in anticipo!
La matrice è diagonale perchè manda ogni elemento della base in un multiplo di quello stesso elemento della base.
Se ad esempio mandasse $b_1$ in $b_1+b_2$ non sarebbe più diagonale.
Ad esempio:
supponiamo di vare solo $b_1,b_2$ e quindi $f(b_1)=a_1b_1$ e $f(b_2)=a_2b_2$
Scrivo la matrice associata a $f$ rispetto alla base $b_1,b_2$ e trovo:
$((a_1,0),(0,a_2))$ che è diagonale.
Se invece fosse $f(b_1)=a_1b_1+a_2b_2$ e $f(b_2)=a_2b_2$ allora la mia matrice sarebbe:
$((a_1,0),(a_2,a_2))$ che non è diagonale.
grazie mille misanino!!!
Mi spiegheresti per favore anche la prima parte? così da togliermi ogni dubbio!
Mi spiegheresti per favore anche la prima parte? così da togliermi ogni dubbio!
La tua matrice che rappresenta $f$ è diagonale rispetto alla base $B=(b_1,b_2,...,b_n)$ ( che non sappiamo ancora se è o no di autovettori!)
Il fatto che sia diagonale implica, (per il ragionamento che ti ho fatto prima) che ogni elemento della base viene mandato in un multiplo di sè stesso.
Perciò esiste $a_1\inRR$ tale che $f(b_1)=a_1b_1$, esiste $a_2\inRR$ tale che $f(b_2)=a_2b_2$ e così via.
Ma si dice che $v!=0$ è un autovettore rispetto a un numero $\lambda$ se $f(v)=\lambdav$.
Nel nostro caso $f(b_1)=a_1b_1$ e quindi $b_1$ è un autovettore rispetto a $a_1$.
Poi $f(b_2)=a_2b_2$ e quindi $b_2$ è un autovettore rispetto a $a_2$.
E così via
Il fatto che sia diagonale implica, (per il ragionamento che ti ho fatto prima) che ogni elemento della base viene mandato in un multiplo di sè stesso.
Perciò esiste $a_1\inRR$ tale che $f(b_1)=a_1b_1$, esiste $a_2\inRR$ tale che $f(b_2)=a_2b_2$ e così via.
Ma si dice che $v!=0$ è un autovettore rispetto a un numero $\lambda$ se $f(v)=\lambdav$.
Nel nostro caso $f(b_1)=a_1b_1$ e quindi $b_1$ è un autovettore rispetto a $a_1$.
Poi $f(b_2)=a_2b_2$ e quindi $b_2$ è un autovettore rispetto a $a_2$.
E così via
Grazie infinite!!!
Mi sono reso conto che mi stavo perdendo davanti ad un problema in realtà molto accessibile!
Grazie ancora misanino!!!
Mi sono reso conto che mi stavo perdendo davanti ad un problema in realtà molto accessibile!
Grazie ancora misanino!!!
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