Condizione appartenenza retta a un piano
Devo ammettere che il seguente esercizio mi ha fatto un po' "sbarellare"...
Allora devo trovare il valore del parametro h per il quale vale che la retta r appartiene al piano $\alpha$, dove
$r\equiv{(x-y-h=0),(z-y-1=0):}$ e $\alpha:x+y-2z=0$
Verifico che il rango della matrice dei coefficienti del sistema che descrive r sia 2:
$[[1,-1,0],[0,-1,1]]=>rango(A)=2$
Quindi effettivamente il sistema descrive una retta, in quanto il sottospazio delle soluzioni ha dimensione 1
(per rouchè-capelli $\infty^(3-2)=\infty^1$).
Quindi ponendo $x=t$ con $t$ parametro appartenente a $RR$, mi ricavo l'equazioni parametriche che descrivono r:
${(x=t),(y=t-h),(z+h-t-1=0):}={(x=t),(y=t-h),(z=t+1-h):}$
Adesso sostituisco le equazioni nel piano ottenendo:
$\alpha(r(t)):t+t-h-2t-2+2h=0$
Per comodità scelgo $t=0$ quindi ottengo la nuova relazione
$h-2=0$
Ora r per appartenere a $\alpha$ deve necessariamente risolvere $x+y-2z=0$ per ogni suo punto, quindi arriverei a concludere che l'unico valore del parametro h percui $r\in\alpha$ risulta 2.
Siccome, come già detto, non mi è risultato semplicissimo risolvere il quesito, vorrei sapere se tutte le considerazioni che ho fatto sono corrette e se lo sono anche i calcoli.
Grazie in anticipo a tutti!
Allora devo trovare il valore del parametro h per il quale vale che la retta r appartiene al piano $\alpha$, dove
$r\equiv{(x-y-h=0),(z-y-1=0):}$ e $\alpha:x+y-2z=0$
Verifico che il rango della matrice dei coefficienti del sistema che descrive r sia 2:
$[[1,-1,0],[0,-1,1]]=>rango(A)=2$
Quindi effettivamente il sistema descrive una retta, in quanto il sottospazio delle soluzioni ha dimensione 1
(per rouchè-capelli $\infty^(3-2)=\infty^1$).
Quindi ponendo $x=t$ con $t$ parametro appartenente a $RR$, mi ricavo l'equazioni parametriche che descrivono r:
${(x=t),(y=t-h),(z+h-t-1=0):}={(x=t),(y=t-h),(z=t+1-h):}$
Adesso sostituisco le equazioni nel piano ottenendo:
$\alpha(r(t)):t+t-h-2t-2+2h=0$
Per comodità scelgo $t=0$ quindi ottengo la nuova relazione
$h-2=0$
Ora r per appartenere a $\alpha$ deve necessariamente risolvere $x+y-2z=0$ per ogni suo punto, quindi arriverei a concludere che l'unico valore del parametro h percui $r\in\alpha$ risulta 2.
Siccome, come già detto, non mi è risultato semplicissimo risolvere il quesito, vorrei sapere se tutte le considerazioni che ho fatto sono corrette e se lo sono anche i calcoli.
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Una considerazione: se una retta appartiene ad un piano, il suo vettore direzione deve essere ortogonale alla normale del piano. Sai determinare la direzione della retta $r$?
Mi basta eseguire il prodotto vettoriale tra le normali dei piani che la descrivono.
Ma il fatto di avere la direzione ortogonale alla normale del piano non è una condizione solo necessaria all'appartenenza?
Cioè, se si verifica che $\vecv\cdot\vecn=0$, con $\vecv$ vettore direzione di r e $\vecn$ vettore normale di $\alpha$, io direi solo che r è parallela a $\alpha$.
Mi pare che per appartenere a $\alpha$ bisogna che abbia anche almeno un punto in comune con esso.
Ma il fatto di avere la direzione ortogonale alla normale del piano non è una condizione solo necessaria all'appartenenza?
Cioè, se si verifica che $\vecv\cdot\vecn=0$, con $\vecv$ vettore direzione di r e $\vecn$ vettore normale di $\alpha$, io direi solo che r è parallela a $\alpha$.
Mi pare che per appartenere a $\alpha$ bisogna che abbia anche almeno un punto in comune con esso.
Infatti è quello che devi fare: se determini il verso della retta, diventa più comodo capire cosa accade, senza fare sostituzioni.
Comunque il metodo usato è corretto ma non il migliore giusto?
Ora provo a rifare l'esercizio come mi hai suggerito
Ora provo a rifare l'esercizio come mi hai suggerito
Ok, allora:
La direzione di r mi risulta:
$|(\veci,\vecj,\veck),(1,-1,0),(0,-1,1)|=(-1)\veci+(-1)\vecj+(-1)\veck$
Quindi la direzione mi torna coerente con quella ritrovata precedentemente.
Verifico l'ortogonalità tra la direzione di r e la normale di $\alpha$:
$\vecv\cdot\vecn=-11+(-1)1+[-1(-2)]=-1-1+2=0$
Ok, r è parallela a $\alpha$.
Ora dovrei trovare un h tale che r appartiene a $\alpha$, ma non mi viene niente in mente su come fare...
Potrei sfruttare la nozione di distanza, cioè imponendo che tra retta e piano sia nulla.
Ma in questo modo mi riporterei di nuovo allo sviluppo delle equazioni parametriche per r, cosa che mi fa pensare che questa strada sia più lunga della precedente.
Qualche indizio su come risolvere efficacemente questo esercizio?
La direzione di r mi risulta:
$|(\veci,\vecj,\veck),(1,-1,0),(0,-1,1)|=(-1)\veci+(-1)\vecj+(-1)\veck$
Quindi la direzione mi torna coerente con quella ritrovata precedentemente.
Verifico l'ortogonalità tra la direzione di r e la normale di $\alpha$:
$\vecv\cdot\vecn=-11+(-1)1+[-1(-2)]=-1-1+2=0$
Ok, r è parallela a $\alpha$.
Ora dovrei trovare un h tale che r appartiene a $\alpha$, ma non mi viene niente in mente su come fare...
Potrei sfruttare la nozione di distanza, cioè imponendo che tra retta e piano sia nulla.
Ma in questo modo mi riporterei di nuovo allo sviluppo delle equazioni parametriche per r, cosa che mi fa pensare che questa strada sia più lunga della precedente.
Qualche indizio su come risolvere efficacemente questo esercizio?
La retta è generata da due piani. Poi ne hai un terzo: se la retta giace sul terzo piano, questi tre come devono essere?
Se la retta giace sul terzo piano, direi che i piani appartengono tutti allo stesso fascio proprio, ma non credo sia la risposta che volevi
Invece sì. E come puoi caratterizzare tre piani che appartengono allo stesso fascio? Che proprietà devono avere?
Scusami ciampax ma oggi ho avuto una giornata abbastanza travagliata, non c'è stato verso di mettersi un paio d'ore di fila a studiare...
Comunque non saprei di quali proprietà godono tre piani appartenenti allo stesso fascio, a parte intersecarsi lungo una retta...
Comunque non saprei di quali proprietà godono tre piani appartenenti allo stesso fascio, a parte intersecarsi lungo una retta...
Appunto, se si intersecano in una retta, significa che il sistema di 3 equazioni in 3 incognite che formano deve avere $\infty^1$ soluzioni (che, appunto, rappresentano uno spazio 1 dimensionale e quindi una retta). Ma questo impone che una delle equazioni dipenda dalle altre. Se consiseri
[tex]$x-y=h,\ z-y=1,\ x+y-2z=0$[/tex]
riducendo a gradini trovi
[tex]$x-y=h,\ z-y=1,\ 2y-2x=-h$[/tex]
da cui puoi notare che la seconda e terza equazione coincidono se $-h/2=-1$ o anche $h=2$.
[tex]$x-y=h,\ z-y=1,\ x+y-2z=0$[/tex]
riducendo a gradini trovi
[tex]$x-y=h,\ z-y=1,\ 2y-2x=-h$[/tex]
da cui puoi notare che la seconda e terza equazione coincidono se $-h/2=-1$ o anche $h=2$.
Perfetto grazie mille!
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