Cond. suff. Convoluzione di 2 segnali periodici

[Bandit1]

Considerando 2 segnali $x(t)$ e $y(t)$ la convoluzione è $w(t)= int x(tau) y(t-tau)$. Per avere senso devono essere sommabili i 2 segnali.

Le condiz. suffucienti sono
1) i 2 segnali devono appartenere a $L^2$
2)i 2 segnali devono appartenere a $L^2$localmente o, x(t) e y(t) devono annullarsi in un intorno di + o - infinito
2)i 2 segnali devono appartenere a $L^2$localmente, uno dei 2 segnali si annulla fuori di un insieme compatto.


La prima è immediata, la seconda e la terza perchè? cioè non vorrei sapere la dimostrazione, ma la motivazione logica

ciao e grazie


sempre legato alla cosa, se per esempio i 2 segnali sono una porta e t. Dove la porta è così definita : porta di ampiezza T della variabile t sarebbe

$P_T (t) $ = vale 1 per t appartenente a $ ]-T/2;T/2[ $
vale 0 per t appartenente a $R-[-T/2 ; T/2 ] $

Perchè la t è sommabile localmente? e la porta è somabile?

[Sk_Anonymous]

Le condizioni 2 e 3 sono abbastanza ovvie; la locale sommabilita' unita all'annullarsi di almeno uno dei due fattori all'infinito e' sufficiente a garantire che ci sia sommabilita', infatti l'integrale diventa su un dominio compatto, e quindi e' finito grazie alla locale sommabilita'.

Quanto alla seconda richiesta, a parte la nomenclatura tipica dell'ingegnere, la funzione da te postata e' ovviamente sommabile, essendo nulla fuori da un compatto.

[Bandit1]

Grazie, sei stato chiarissimo per la prima parte.

Per la seconda avrei alcune domande
1) quale è la tipica nomenclatura?
2) la porta è nulla fuori da un compatto, però la t?
3) come si fa a capire se una funzione è sommabile localmente?