Concetto di diagonalizzabilità matrice

[Antonio015]

Volevo risolvere questo dubbio:

se ho una matrice e voglio sapere se è possibile diagonalizzarla, devo applicare questa formula?

$dimV=n$

dove:
$dimV$ = numero autovalori
$n$ = grado della matrice

Ad es.: se in una matrice ho 3 autovalori e il grado è 3 (cioè la matrice è 3x3), allora $dimV=n=3$ è diagonalizzabile.

Non sono sicuro di ciò che dico, ,è un dubbio che mi arrovella da parecchi giorni e sono più che confuso
Grazie

[tyler861]

Attenzione che non si diagonalizza una matrice ma una trasformazione lineare!!! Comunque devi guardare la moltepicita' algebrica e geometrica degli autovalori...e devono essere uguali...una ti dice quante volte l'autovalore e' radice del polinomio caratteristico , l'altra la dimensione dell'autospazio...

[dissonance]

"tyler86":Attenzione che non si diagonalizza una matrice ma una trasformazione lineare!!!

Non sono d'accordo con questa puntualizzazione sul linguaggio, spesso si parla di "diagonalizzazione di una matrice" ed è una locuzione con un preciso significato.

[Antonio015]

infatti nella maggior parte degli esercizi che sto incontrando si dice "vedere se la matrice è diagonalizzabile"...

[tyler861]

Bhe il mio professore di Geometria 2 al primo anno di universita' ha bocciato (giustamente) una ragazza quando ha detto "...basta diagonalizzare la matrice...". Matematicamente si diagonalizza l'operatore e l'operazione la si fa sulla matrice...o meglio si trova un abase per cui la matrice dell'operatore risulti diagonale. Io sarei per mantenere rigorosa la distinzione...Poi e' vero che se si sa' quello che si sta dicendo si puo' dire anche "scaliamo la matrice" oppure "raddrizziamo la matrice"...

[dissonance]

E' rigoroso anche dire: "diagonalizzare una matrice". Significa dire: data una matrice quadrata $A$, trovare una matrice diagonale $D$ tale che $A$ e $D$ sono simili, i.e. esiste una matrice invertibile $P$ tale che $P^{-1}AP=D$. Questo, mi pare, ha perfettamente senso.

Se poi vogliamo vedere le matrici alla luce della teoria delle applicazioni lineari, l'operazione di sopra corrisponde alla ricerca di una base diagonalizzante per un endomorfismo, con tutte le considerazioni del caso. Si può discutere se sia o meno didatticamente vantaggioso parlare solo di matrici e non di applicazioni lineari, ma -sono sicuro- non è una mancanza di rigore.

[Antonio015]

a prescindere da considerazioni sulla terminologia da adottare...
potreste farmi un esempio pratico? Vi giuro, mi trovo in difficoltà! Ho cercato dappertutto ma trovo solo spiegazioni teoriche senza nessun esempio pratico!

La mia matrice è

$((0,1,2),(2,2,4),(-1,0,0))$

Non vi dico di calcolarmi la matrice perchè già l'ho fatto io.
I rispettivi autovalori e autovettori sono:

$\lambda_1=0$ ------> $x_1=((0,-2,1))
$\lambda_2=0$ ------> $x_2=((-2,0,1))
$\lambda_3=2$ ------> $x_3=((-2,-6,1))

In base a questi risultati, concretamente, come faccio a sapere se la matrice è diagonalizzabile?
Chiedo semplicemente un esempio di applicazione...

[dissonance]

Hai provato a consultare Algebra lineare for dummies di Sergio? https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html

[Antonio015]

non chiedo come applicare la formula $P^-1AP=D$ perchè per quella non trovo problemi

piuttosto chiedo, in base ai valori da me dati, come applicare il concetto di molteplicità geometrica, algebrica....in modo tale da capire se questa matrice è diagonalizzabile...

[dissonance]

Non necessariamente devi applicare il concetto di molteplicità algebrica e geometrica. "Diagonalizzabile" è quella matrice che ammette una base di autovettori. Tu hai trovato tre autovettori: se essi sono linearmente indipendenti (a occhio mi pare di sì), essi formano una base di $RR^3$ e quindi la matrice è diagonalizzabile.