Con U e V 2 sottosp. trovare app. lin. dove kern=U e Im=V

[Marte1]

Ho questo problema e non riesco a trovarne uno svolto simile da nessuna parte.

Siano U e V i seguenti sottospazi di R^3 :
U = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y − z = 0} ,
W = {x, y, z) ∈ R^3 : x − z = 0 = x + y} .
(i) Determinare le dimensioni di U e W ;
(ii) determinare un’applicazione lineare f : R^3 → R^3 tale che il nucleo
di f sia ker(f ) = U , l’immagine di f sia Im(f ) = W e 3 sia un
autovalore per f .

Il punto (i) non è un problema, ma il punto (ii) come si fa'?

[Lord K]

Allora:

$U=$
$U=<(1,0,1),(0,1,1)>$
$dimU=2$

e:

$W=$
$W=<(1,-1,1)>$
$dimW=1$

Abbiamo che dobbiamo cercare $f$ tale che:

${(f(w_1)=lambda_w*w_1),(f(u_1)=f(u_2)=0),(Imf=W):}$

Sia allora l'endomorfismo associato a $w_1^d$ nello spazio duale tale che:

$w_1^d(w_1)=1$
$w_1^d(v)=0, AAv in RR^3 ^^ v \notin$

siccome $u_1,u_2,w_1$ formano una base di $RR^3$ ottengo che:

$w_1^d(v)=w_1^d(mu_1u_1+mu_2u_2+mu_3w_1)=mu_1w_1^d(u_1)+mu_2w_1^d(u_2)+mu_3w_1^d(w_1)=0+0+mu_3w_1^d(w_1)=mu_3$

Se considero: $f(v)=w_1^d(v)*w_1$ ottengo ciò che cerco, infatti:

$f(u_1)=w_1^d(u_1)*w_1 =0$
$f(u_2)=w_1^d(u_2)*w_1 =0$

$f(v)=w_1^d(mu_1u_1+mu_2u_2+mu_3w_1)*w_1=mu_3*w_1$ e quindi $Imf=W$

Immediatamente si nota che $w_1$ è autovettore di autovalore $1$ infatti:

$f(w_1)=w_1^d(w_1)w_1=1*w_1$

Tutto chiaro?

[Marte1]

Per prima cosa grazie per aver risposto!
Riguardo alla soluzione che proponi, ti ho seguito fino quando hai iniziato a parlare di spazio duale. Che io sappia non c'e' nel mio programma. Detto questo, ora mi salvo il tuo post e cerco di dargli un senso andando a cercare su qualche testo le nozioni che non conosco. Certo, qualunque ulteriore aiuto è più che gradito!

[Lord K]

Puoi anche vederla così:

Sia $F(\bar x)=\bar \bar M \bar x$

Considera che $F$ è lineare, $M$ matrice poi hai che il problema è risolto cercando:

${(F(w_1)=lambda w_1),(F(u_1)=F(u_2)=0),(ImF=W):}$

$M$ è del tipo $3x3$, quindi:

$M=((a_(11),a_(12),a_(13)),(a_(21),a_(22),a_(23)),(a_(31),a_(32),a_(33)))$

quindi si tratta di risolvere il sistema $\bar\barM\baru_1$,$\bar\barM\baru_2$

${(a_(11)+a_(13)=0),(a_(12)+a_(13)=0), (a_(21)+a_(23)=0), (a_(22)+a_(23)=0), (a_(31)+a_(33)=0), (a_(32)+a_(33)=0):}$

e poi risolto questo devo fare in modo che l'autovettore di $M$ sia $w_1$.

Meglio?

[Dorian1]

"Marte":
(ii) determinare un’applicazione lineare f : R^3 → R^3 tale che il nucleo
di f sia ker(f ) = U , l’immagine di f sia Im(f ) = W e 3 sia un
autovalore per f .

Un'interpretazione molto geometrica (i matematici professionisti, generalmente, odiano questo tipo di considerazioni, quindi evita di esporre il ragionamento durante un esame!).

Fissiamo un'origine $O$ nello spazio ed "applichiamoci" i due sottospazi $U$ e $W$. Abbiamo una retta $r$ ed un piano $pi$ passanti per $O$. A questo punto, se ci si pensa un secondo, $f$ è la composizione di due applicazioni: quella che proietta ogni punto dello spazio su $r$, parallelamente a $pi$, e quella che, dato un punto di $r$, lo allontana di 3 volte dall'origine...
Si veda che tale $f$ soddisfa alle richieste di (ii).

Ripeto: guai spiegare fatti sugli spazi vettoriali con considerazioni geometriche... Quest'esempio è servito a noi, per visualizzare il problema.