Composizione riflessione e proiezione

[abbax]

Salve a tutti,
sono alle prese con un esercizio che ho svolto ma non so se ho fatto bene (temo di no)

Il testo è il seguente:
Siano \(\displaystyle A=L(E_1,E_2) \) e \(\displaystyle B=L(E_3) \) con
\(\displaystyle E_1 =(1,1,0) \) \(\displaystyle E_2=(0,1,1) \) ed \(\displaystyle E_3=(1,1,1) \)

Sia \(\displaystyle \pi \) la proiezione su B lungo la direzione di A e \(\displaystyle \sigma \) la riflessione attorno a \(\displaystyle E_3^\bot \)
La richesta è di scrivere la matrice rappresentante \(\displaystyle \varphi=\sigma\pi \) rispetto alla base costituita dai vettori \(\displaystyle (E_1,E_2,E_3) \)

Il mio procedimento è stato il seguente:
per\(\displaystyle \pi \) ho fatto veloce, ho cercato una matrice che, dato in ingresso un qualsiase vettore con tre coordinate, mi prenda solo la terza coordinata. Quindi la matrice sarà una 3X3 con tutti zeri eccetto un 1 nell'ultima posizione (in basso a destra) cioè sarà

\(\displaystyle \begin{matrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&1
\end{matrix} \)
e già su questo ho seri dubbi che sia giusto.
Per \(\displaystyle \sigma \) ho applicato la definizione cioè
\(\displaystyle (x,y,z)-2\frac{<(x,y,z),(1,1,1)>)}{<(1,1,1),(1,1,1)>}(1,1,1) \)
\(\displaystyle =(x,y,z)-2\frac{(x+y+z)}{3}(1,1,1) \)
\(\displaystyle =(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}z, -\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}z, -\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z \)

che sotto forma di matrice sarà
\(\displaystyle \begin{matrix}
\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\\
-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\
-\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}
\end{matrix} \)

Su questo il dubbio principale è: in questo modo la matrice è rispetto alla base E o alla base canonica?

a questo punto la matrice di \(\displaystyle \varphi \) sarà il prodotto tra la matrice di\(\displaystyle \sigma \) e quella di\(\displaystyle \pi \).
Ringrazio per l'aiuto

[abbax]

niente?