Composizione di funzioni

[musageta10]

Ciao ragazzi,
vi chiedo se per favore potete risolvermi questo esercizio:

Date le applicazioni lineari $F: R^3 \rightarrow R^2$ e $G: R^2 \rightarrow R^3$ definite da: $F(x, y, z) = (x-y, 2x+y+z)$ e $G(x, y) = (3y, -x, 4x+2y)$, si determino se possibile, $F \circ G$ e $G \circ F$

Grazie milleeee

[Bokonon]

Nemmeno uno straccio di idea?
Al minimo potresti scrivere le matrici associate alle due applicazioni lineari e provare a fare un ragionamento...

[musageta10]

No, purtroppo nemmeno uno straccio di idea...

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Data un'applicazione lineare \( \phi : V \rightarrow W \), dove \( V, W \) sono due spazi vettoriali e fissate due basi \( A,B \) rispettivamente di \(V,W \) puoi associare all'applicazione \( \phi \) una matrice \( (\phi)_{BA} \). Come la calcoli questa matrice?
Ora date due applicazioni lineari \( \phi: V \rightarrow W \) e \( \varphi : W \rightarrow U \) e date tre basi \( A, B , C \) degli spazi vettoriali \( V,W,U \) rispettivamente, si può definire la matrice \( (\varphi \circ \phi )_{CA} = (\varphi)_{CB} \cdot(\phi)_{BA} \) associata all'applicazione lineare \( \varphi \circ \phi \).
È spesso più facile svolgere una moltiplicazione tra matrici che fare la composizione tra le due applicazioni.
Nel tuo caso quali matrici puoi definire? \( F \circ G \) ? \( G \circ F \) ? Entrambe? Nessuna?

[musageta10]

Credo si possano definire entrambe, o sbaglio??
Grazie per la risposta

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Prova e determinale se è il caso.

[musageta10]

Provo e ti faccio sapere, sinceramente non sapevo si dovesse ricorrere alle matrici anche per questo tipo di esercizio

[musageta10]

"musageta10":Provo e ti faccio sapere, sinceramente non sapevo si dovesse ricorrere alle matrici anche per questo tipo di esercizio

Non so se sia giusto, ma ho scritto le seguenti matrici associate rispettivamente ad $F$ e a $G$, rispetto alle basi canoniche:

$A=((1,2),(1,1),(0,1))$ e $B=((0,-1,4),(3,0,2))$

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Quindi \( F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) è un applicazione che preso un vettore qualunque di \( v=\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \) te ne restituisce uno in \( F(v)=w=\begin{pmatrix}
x-y \\
2x+y+z
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \)
Dovremmo avere \( A v= w \)
Con la tua matrice puoi A puoi fare \( Av \) ?
\( \begin{pmatrix}
1&2 \\
1& 1\\
0& 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = ?? \)

[Bokonon]

E' un passo avanti ma quelle sono le trasposte. Inoltre c'è un errore in A. E infine perchè non le chiami col nome dell'applicazione? A=F e B=G così le associ immediatamente.

[musageta10]

"3m0o":Quindi \( F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) è un applicazione che preso un vettore qualunque di \( v=\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \) te ne restituisce uno in \( F(v)=w=\begin{pmatrix}
x-y \\
2x+y+z
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \)
Dovremmo avere \( A v= w \)
Con la tua matrice puoi A puoi fare \( Av \) ?
\( \begin{pmatrix}
1&2 \\
1& 1\\
0& 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = ?? \)

Intendi questo?

$((x+y),(2x+y+z))$

[musageta10]

"Bokonon":E' un passo avanti ma quelle sono le trasposte. Inoltre c'è un errore in A. E infine perchè non le chiami col nome dell'applicazione? A=F e B=G così le associ immediatamente.

Quale sarebbe l'errore in A?

[Bokonon]

12 post per chiederti di scrivere quello che avresti dovuto scrivere sin dal primo post.

$ F=( ( 1 , -1 , 0 ),( 2 , 1 , 1 ) ) $
$ G=( ( 0 , 3 ),( -1 , 0 ),( 4 , 2 ) ) $

3m0o ti ha fatto notare che non era possibile effettuare il prodotto e io ti ho detto chiaramente che le hai scritte trasposte e che hai commesso un errore di segno. Risposta, due post senza manco degnarti di capire o di guardare.