Composizione di funzioni
salve ho un dubbio
siano $f,g\in End(V)$ con $V$ spaziovettoriale su un campo $K$.
se ho che $f\circ g =0$ posso dedurre che $f=0$ o $g=0$?
grazie
siano $f,g\in End(V)$ con $V$ spaziovettoriale su un campo $K$.
se ho che $f\circ g =0$ posso dedurre che $f=0$ o $g=0$?
grazie
Risposte
Ciao 
Non credo, lo puoi fare solo se uno dei due è un isomorfismo. In altri casi potrebbe capitare che $Im(g) = Ker f$, con $f, g != 0$.
Per esempio se consideri $f: \mathbb{R^2}->\mathbb{R^2}$ definita da $f(e_1) = ( (0), (0))$, $f(e_2) = ( (1), (1))$, hai che $Kerf = Span( ((1), (0)))$, ora considera $g:\mathbb{R^2}->\mathbb{R^2}$ definita così: $g(e_1) = ( (1), (0))$, $g(e_2) = ( (0), (0))$, componendo le due funzioni hai che $f \circ g = 0$ poiché $Img = Kerf$ ma entrambe sono funzioni non nulle.
Se invece uno dei due è un isomorfismo puoi comporre per l'inversa e dedurre che l'altra funzione è nulla, cioè: supponiamo che $f \in End(V)$ sia un isomorfismo, se $f \circ g = 0$ allora, componendo a sinistra per $f^-1$, ottieni $f^-1 \circ f \circ g = \f^-1 \circ 0 = 0$; per la proprietà associativa hai che $f^-1 \circ f \circ g = (f^-1 \circ f) \circ g = id_V \circ g = g = 0$
Non credo, lo puoi fare solo se uno dei due è un isomorfismo. In altri casi potrebbe capitare che $Im(g) = Ker f$, con $f, g != 0$.
Per esempio se consideri $f: \mathbb{R^2}->\mathbb{R^2}$ definita da $f(e_1) = ( (0), (0))$, $f(e_2) = ( (1), (1))$, hai che $Kerf = Span( ((1), (0)))$, ora considera $g:\mathbb{R^2}->\mathbb{R^2}$ definita così: $g(e_1) = ( (1), (0))$, $g(e_2) = ( (0), (0))$, componendo le due funzioni hai che $f \circ g = 0$ poiché $Img = Kerf$ ma entrambe sono funzioni non nulle.
Se invece uno dei due è un isomorfismo puoi comporre per l'inversa e dedurre che l'altra funzione è nulla, cioè: supponiamo che $f \in End(V)$ sia un isomorfismo, se $f \circ g = 0$ allora, componendo a sinistra per $f^-1$, ottieni $f^-1 \circ f \circ g = \f^-1 \circ 0 = 0$; per la proprietà associativa hai che $f^-1 \circ f \circ g = (f^-1 \circ f) \circ g = id_V \circ g = g = 0$
grazie e se per esempio ho un polinomio $p=qh\in K[t]$ e $f\in End(V)$ e ho che $q(f)h(f)=0$, con $q(f),g(f)\in End(V)$ cioè valuto il polinomio in $f$ come hai detto tu non posso dedurre necessariamente che $q(f)=0$ o $g(f)=0$ giusto?
"Gil-Galad":
grazie e se per esempio ho un polinomio $ p=qh\in K[t] $ e $ f\in End(V) $ e ho che $ q(f)h(f)=0 $, con $ q(f),g(f)\in End(V) $ cioè valuto il polinomio in $ f $ come hai detto tu non posso dedurre necessariamente che $ q(f)=0 $ o $ g(f)=0 $ giusto?
Qui la situazione è un po' diversa e dipende essenzialmente da $p$.
Sia $f \in End(V)$ dove $V$ è un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale e consideriamo l'ideale $I(f) = {p \in \mathbb{K[t]} | p(f) = 0}$ di $\mathbb{K[t]}$. Sia ora $\mu(t)$ il polinomio che genera $I(f)$, prendiamo un polinomio $p \in I(f)$. Se $p(t) = h(t)q(t)$ e $\mu(t) | h(t)$ o $\mu(t) | g(t)$ allora puoi dedurre che $h(f) = 0$ o $g(f) = 0$. Tuttavia potrebbe capitare che $p(t) = \mu(t) = h(t)q(t)$ in questo caso né $h(f)$ né $q(f)$ sono nulli.
Per esempio consideriamo $f \in End(\mathbb{R^2})$ indotta da $A = ( (0, 1), (1, 0))$, consideriamo $p(t) = t^2-1$, $p(f) = 0$, $p(t) = (t-1)(t+1)$ ma né $h(t) = t+1$ né $q(t) = t-1$ valutati in $f$ danno l'applicazione nulla.
Insomma la deduzione la puoi fare a patto che $p$ non coincida con il polinomio riducibile(se è irriducibile il problema non si pone) che genera $I(f)$.
Ps: sto studiando queste cose per la prima volta, quindi non so se tutto ciò che ho scritto è corretto, fammi sapere se il discorso ti sembra giusto.
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