Composizione di differenziali.

[Lèo114]

Ciao, ho un dubbio su un conto formale con la definizione di differenziale. Per la composizione di applicazioni lisce \[\displaystyle g\circ f: M\to^f N\to^g K, \] si avrebbe per ogni \(\displaystyle g\in T_p M \) e \(\displaystyle h\in\mathcal{C}^\infty(K,g(f(p)), \) \[\displaystyle (\mathrm{d}g\circ f)_p(v)(h)=v(h\circ g\circ f)=(\mathrm{d}f)_p(v)(h\circ g)=(\mathrm{d}g)_{f(p)}((\mathrm{d}f)_p(v))(h)=((\mathrm{d}g)_{f(p)}\circ (\mathrm{d}f)_p)(v)(h), \] di cui non capisco il terzo passaggio. Qualcuno sa dirmi perché \(\displaystyle (\mathrm{d}f)_p(v)(h\circ g)=(\mathrm{d}g)_{f(p)}((\mathrm{d}f)_p(v))(h) \)?

[Bremen000]

Perché

\[ [(dg_{f(p)} \circ df_p) (v)] (h) = [dg_{f(p)} ( df_p (v))] (h) = (df_p(v)) (h \circ g ) = v(h \circ g \circ f)\]

[Lèo114]

Ah. Quindi \(\displaystyle df_p(v) \) è in pratica diventa il vettore tangente argomento di \(\displaystyle dg_{f(p)} \), ed è in quel senso che si scrive \(\displaystyle dg\circ df \). Mi confonde il fatto di denotare i vettori tangenti a varietà diverse sempre con \(\displaystyle v \).

[Bremen000]

"Lèo":Ah. Quindi \(\displaystyle df_p(v) \) è in pratica diventa il vettore tangente argomento di \(\displaystyle dg_{f(p)} \) [...]

Esatto!