Composizione di automorfismi diagonalizzabile
Buonasera a tutti,
Mi trovo a fare un esercizio che non capisco da che parte affrontare.
Il testo è f,g automorfismi di R^2 tali che f ha autovettori(1,1) e (1,-1) e g ha autovettori (2,2) (3,-3). Provare che f+g sia diagonalizzabile.
Io devo diagonalizzare prima le due singole applicazioni? devo trovare basi di autovettori? devo usare matrici associate usando cosa non capisco. finora usavo funzioni lineari che poi combinavo linearmente con una base e trovavo la matrice, qui non so cosa devo usare.
vi ringrazio
Mi trovo a fare un esercizio che non capisco da che parte affrontare.
Il testo è f,g automorfismi di R^2 tali che f ha autovettori(1,1) e (1,-1) e g ha autovettori (2,2) (3,-3). Provare che f+g sia diagonalizzabile.
Io devo diagonalizzare prima le due singole applicazioni? devo trovare basi di autovettori? devo usare matrici associate usando cosa non capisco. finora usavo funzioni lineari che poi combinavo linearmente con una base e trovavo la matrice, qui non so cosa devo usare.
vi ringrazio
Risposte
Hai già le basi di autovettori per $f$ e $g$ separatamente. Devi trovare una base di autovettori per $f+g$.
Se ti fa comodo, pensa a $f,g$ come matrici scritte nella base canonica in partenza e in arrivo (non è essenziale e più avanti ti farà comodo pensare alle mappe solo come mappe, mettendo da parte le matrici). Hai un cambio di base dalla base canonica agli autovettori di $f$ che diagonalizza $f$ e uno che fa lo stesso lavoro per $g$. Devi fare una facile osservazione sugli autovettori per poter dire che quei due cambi di base sono essenzialmente lo stesso, e da questo dedurre che esso diagonalizza anche $f + g$.
Se ti fa comodo, pensa a $f,g$ come matrici scritte nella base canonica in partenza e in arrivo (non è essenziale e più avanti ti farà comodo pensare alle mappe solo come mappe, mettendo da parte le matrici). Hai un cambio di base dalla base canonica agli autovettori di $f$ che diagonalizza $f$ e uno che fa lo stesso lavoro per $g$. Devi fare una facile osservazione sugli autovettori per poter dire che quei due cambi di base sono essenzialmente lo stesso, e da questo dedurre che esso diagonalizza anche $f + g$.
la ringrazio della risposta,
ma quindi devo fare una matrice associata... solo alla base canonica? $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ ? che poi è già diagonale e Identità quindi il cambio base mi restituisce la stessa matrice formata direttamente dagli autovettori $ ( ( 1 , 1 ),( 1 , -1 ) ) $ ? ed è diagonalizzabile in quanto la diagonale 1, -1 è uguale ai miei due autovalori ( trovati con $ alpha (1,1) e beta (1,-1) $ ..
quante idiozie ho detto
?
ma quindi devo fare una matrice associata... solo alla base canonica? $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ ? che poi è già diagonale e Identità quindi il cambio base mi restituisce la stessa matrice formata direttamente dagli autovettori $ ( ( 1 , 1 ),( 1 , -1 ) ) $ ? ed è diagonalizzabile in quanto la diagonale 1, -1 è uguale ai miei due autovalori ( trovati con $ alpha (1,1) e beta (1,-1) $ ..
quante idiozie ho detto
?
Ho capito poco...
Hai due autovettori per $f$ e due autovettori per $g$. Prova a dimostrare che i due autovettori di $f$ sono anche autovettori di $g$ (o viceversa). Una volta fatto vedere questo, fai vedere che quei due autovettori sono anche autovettori per $f+g$.
Non importa parlare di basi o di matrici. Devi solo prendere gli autovalori associati e usare la definizione di autovettore.
Hai due autovettori per $f$ e due autovettori per $g$. Prova a dimostrare che i due autovettori di $f$ sono anche autovettori di $g$ (o viceversa). Una volta fatto vedere questo, fai vedere che quei due autovettori sono anche autovettori per $f+g$.
Non importa parlare di basi o di matrici. Devi solo prendere gli autovalori associati e usare la definizione di autovettore.
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