Composizione di applicazioni lineari

[buggy4]

Ciao a tutti, sto sbattendo la testa su questo problema da un po', qualcuno potrebbe aiutarmi?
Siano $g$ e $f$ due endomorfismi di uno stesso spazio vettoriale finito dimensionale $V$, allora vale che:
$g@f=f@g hArr Im(f)=Im(g) ^^ Ker(f)=Ker(g)$
Oppure vale che
$g@f=f@g hArr Im(f)=Ker(g) ^^ Ker(f)=Im(g)$
Oppure non è vera nessuna delle due.

[Quinzio]

Se sto scrivendo qualche eresia chiedo scusa fin da ora.
Le doppie implicazioni devono valere per ogni $f, g$.
Quindi potresti provare a ipotizzare che $f$ sia l'endomorfismo identita' oppure l'endomorfismo nullo.
Ad es. con $f$ endomorfismo identita', $Im(f) = V$, $Ker(f) = 0$

La prima delle due "doppie implicazioni" diventa:
$ g=g hArr V= 0 = Ker(g) $

A sinistra e' sempre vera, a destra sempre falsa. Quindi la doppia implicazione e' falsa.

[buggy4]

ok penso di aver capito, grazie @Quinzio..è falsa anche la prima proposizione?

[Bokonon]

Ci sono diversi tipi di applicazioni lineari che commutano, ma non credo valga la pena elencarle.
Piuttosto io butterei la un'ipotesi e proverei a vedere se è un controesempio.
Per esempio, supponiamo che entrambe le applicazioni siano iniettive...