Composizione di applicazioni lineari
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano nella risoluzione di un esercizio sulla composizione di due applicazioni lineari.
Siano $ T:R^3rarr R_(2)[t] S: R_(2)[t]rarr R^2 $ le applicazioni lineari date da
$ T: | ( x ),( y ),( z ) | = x + (2y -x)t + zt^2 S(p)= | ( p(0) ),( p(1) ) | $
Calcola $ S @ T: R^3 rarr R^2 $ e trova $ Ker(S@T )$ e $ Im(S@T) $
Ho già visto la risoluzione di un paio di esercizi simili, ma qui mi blocca S. Non capisco come risolverlo. E' pur vero che sono alle primissime armi
Grazie mille anticipatamente per la pazienza e la cortesia.
Siano $ T:R^3rarr R_(2)[t] S: R_(2)[t]rarr R^2 $ le applicazioni lineari date da
$ T: | ( x ),( y ),( z ) | = x + (2y -x)t + zt^2 S(p)= | ( p(0) ),( p(1) ) | $
Calcola $ S @ T: R^3 rarr R^2 $ e trova $ Ker(S@T )$ e $ Im(S@T) $
Ho già visto la risoluzione di un paio di esercizi simili, ma qui mi blocca S. Non capisco come risolverlo. E' pur vero che sono alle primissime armi
Grazie mille anticipatamente per la pazienza e la cortesia.
Risposte
\(\displaystyle S∘T \) non è altro che una composizione di funzioni lineari.
Ora sai che ogni applicazione lineare è rappresentabile con una matrice (direttamente o nel peggiore dei casi tramite isomorfismi), per cui chiamiamo \(\displaystyle A \) la matrice associata all'applicazione \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle B \) la matrice associata all'applicazione \(\displaystyle T \), avrai quindi che:
\(\displaystyle S(\underline{u}) = A\underline{u} \)
\(\displaystyle T(\underline{v}) = B\underline{v} \)
\(\displaystyle S∘T \) vuol dire "prima T" - "poi S", ovvero:
\(\displaystyle S(T(\underline{v})) = A \cdot T(\underline{v}) = A \cdot B \cdot \underline{v} \)
Abbiamo ottenuto che la matrice dell'applicazione \(\displaystyle S∘T \) è \(\displaystyle AB \), ora immagino tu sappia proseguire
Se hai dubbi proviamo a chiarirli ulteriormente per quello che posso, magari svolgendo l'esercizio per intero
Ora sai che ogni applicazione lineare è rappresentabile con una matrice (direttamente o nel peggiore dei casi tramite isomorfismi), per cui chiamiamo \(\displaystyle A \) la matrice associata all'applicazione \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle B \) la matrice associata all'applicazione \(\displaystyle T \), avrai quindi che:
\(\displaystyle S(\underline{u}) = A\underline{u} \)
\(\displaystyle T(\underline{v}) = B\underline{v} \)
\(\displaystyle S∘T \) vuol dire "prima T" - "poi S", ovvero:
\(\displaystyle S(T(\underline{v})) = A \cdot T(\underline{v}) = A \cdot B \cdot \underline{v} \)
Abbiamo ottenuto che la matrice dell'applicazione \(\displaystyle S∘T \) è \(\displaystyle AB \), ora immagino tu sappia proseguire
Se hai dubbi proviamo a chiarirli ulteriormente per quello che posso, magari svolgendo l'esercizio per intero
provo a svolgere l'esercizio, sei stato molto chiaro comunque! grazie mille
devo dimosrare alcune proprietà delle composizioni di applicazioni lineari.le elenco sperando che qualcuno mi dia un idea su come svolgere la dimostrazione:
associativa : $ R@ (S@ T)=(R@ S)@ T $
distributiva rispetto alla somma: $ (S_1+S_2)@ T=S_1@ T+S_2@ T $ , $ S@(T_1+T_2) =S@ T_1+S@ T_2 $
distributiva rispetto al prodotto per scalari: $ lambdaS@T =lambda(S@ T)=S@ lambdaT $
grazie in anticipo
associativa : $ R@ (S@ T)=(R@ S)@ T $
distributiva rispetto alla somma: $ (S_1+S_2)@ T=S_1@ T+S_2@ T $ , $ S@(T_1+T_2) =S@ T_1+S@ T_2 $
distributiva rispetto al prodotto per scalari: $ lambdaS@T =lambda(S@ T)=S@ lambdaT $
grazie in anticipo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo