Composizione di applicazioni
Salve,
Stavo risolvendo un quesito di geometria con spazi vettoriali, in cui era richiesto di trovare la matrice, l'immagine e il nucleo dell'applicazione $\phi$, e verificare che immagine e nucleo fossero in somma diretta. Una volta risolto questo, il problema chiedeva di scrivere la matrice di $\sigma$, applicazione tale che $\sigma(ker(\phi))subeim(\phi$) e $\sigma(im(\phi))subeker(\phi)$. Una volta trovata la matrice determinare come variano nucleo ed immagine delle applicazioni: 1) $\phi$*$\sigma$ 2) $\sigma$*$\phi$*$\sigma$ 3) $\phi$*$\sigma$*$\phi$*$\sigma$.
Sono riuscito a determinare la matrice di $\phi$ e ha determinare il suo nucleo e la sua immagine. Poi ho determinato la matrice $\sigma$.Però mi sono fermato all'ultimo punto, perché non riesco a determinare nucleo e immagine dei punti 1, 2 e 3.
$\phi$ ha immagine e nucleo ciascuno di dimensione 2, mentre $\sigma$ ha immagine di dimensione 4 e nucleo di dimensione 0.
Grazie mille
Stavo risolvendo un quesito di geometria con spazi vettoriali, in cui era richiesto di trovare la matrice, l'immagine e il nucleo dell'applicazione $\phi$, e verificare che immagine e nucleo fossero in somma diretta. Una volta risolto questo, il problema chiedeva di scrivere la matrice di $\sigma$, applicazione tale che $\sigma(ker(\phi))subeim(\phi$) e $\sigma(im(\phi))subeker(\phi)$. Una volta trovata la matrice determinare come variano nucleo ed immagine delle applicazioni: 1) $\phi$*$\sigma$ 2) $\sigma$*$\phi$*$\sigma$ 3) $\phi$*$\sigma$*$\phi$*$\sigma$.
Sono riuscito a determinare la matrice di $\phi$ e ha determinare il suo nucleo e la sua immagine. Poi ho determinato la matrice $\sigma$.Però mi sono fermato all'ultimo punto, perché non riesco a determinare nucleo e immagine dei punti 1, 2 e 3.
$\phi$ ha immagine e nucleo ciascuno di dimensione 2, mentre $\sigma$ ha immagine di dimensione 4 e nucleo di dimensione 0.
Grazie mille
Risposte
Devi cercare di partire dalla definizione di nucleo e di immagine:
- Sia $\phi :V->W$ su $\mathbb{K}$. Allora il nucleo di $\phi$ è $Ker \phi:= { v \in V | \phi(v)=0 \in W }$.
- Sia $\phi :V->W$ su $\mathbb{K}$. Allora l'immagine di $\phi$ è $Im \phi:= { w \in W |\exists v \in V$ per cui $\phi(v)=w }$.
(non hai scritto i dettagli dell'applicazione $\phi$ per cui do per scontato che vada da $V->V$, poichè $\sigma$ sembra una simmetria, e quindi dovrebbe essere $im\phi\oplus ker\phi$)
Da quelle poi ricavi tutti i tre i punti, ti faccio il primo, gli altri due te li lascio:
1) $ker(\phi\circ\sigma)$=${v\inV | (\phi\circ\sigma)(v)=0}$. Quindi $\phi(\sigma(v))=0$, ovvero posto $w=\sigma(v)$, allora $\phi(w)=0 \Rightarrow w\inker\phi \Rightarrow \sigma(v)\inker\phi \Rightarrow v\inim\phi$ (poichè $\sigma(im\phi)\subseteqker\phi)$. Quindi $ker(\phi\circ\sigma)$ = $im\phi$
Analogamente procedi per $im(\phi\circ\sigma)$:
2) $ker(\phi\circ\sigma)$=${v'\inV | \existsv\inV$ per cui $(\phi\circ\sigma)(v)=v'}$. Quindi $\phi(\sigma(v))=v'$, ovvero posto $w=\sigma(v)$, allora $\phi(w)=v' \Rightarrow w\in im\phi\Rightarrow \sigma(v)\in im\phi \Rightarrow v \in im\sigma$. Quindi $im(\phi\circ\sigma)$=$im\phi$
- Sia $\phi :V->W$ su $\mathbb{K}$. Allora il nucleo di $\phi$ è $Ker \phi:= { v \in V | \phi(v)=0 \in W }$.
- Sia $\phi :V->W$ su $\mathbb{K}$. Allora l'immagine di $\phi$ è $Im \phi:= { w \in W |\exists v \in V$ per cui $\phi(v)=w }$.
(non hai scritto i dettagli dell'applicazione $\phi$ per cui do per scontato che vada da $V->V$, poichè $\sigma$ sembra una simmetria, e quindi dovrebbe essere $im\phi\oplus ker\phi$)
Da quelle poi ricavi tutti i tre i punti, ti faccio il primo, gli altri due te li lascio:
1) $ker(\phi\circ\sigma)$=${v\inV | (\phi\circ\sigma)(v)=0}$. Quindi $\phi(\sigma(v))=0$, ovvero posto $w=\sigma(v)$, allora $\phi(w)=0 \Rightarrow w\inker\phi \Rightarrow \sigma(v)\inker\phi \Rightarrow v\inim\phi$ (poichè $\sigma(im\phi)\subseteqker\phi)$. Quindi $ker(\phi\circ\sigma)$ = $im\phi$
Analogamente procedi per $im(\phi\circ\sigma)$:
2) $ker(\phi\circ\sigma)$=${v'\inV | \existsv\inV$ per cui $(\phi\circ\sigma)(v)=v'}$. Quindi $\phi(\sigma(v))=v'$, ovvero posto $w=\sigma(v)$, allora $\phi(w)=v' \Rightarrow w\in im\phi\Rightarrow \sigma(v)\in im\phi \Rightarrow v \in im\sigma$. Quindi $im(\phi\circ\sigma)$=$im\phi$
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