Composizione applicazioni lineari
Siano date le seguenti applicazioni lineari:
f: $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ rappresentata dalla matrice
$((1,3,0),(2,0,1),(2,-6,2))$
e g: $RR^3$ $rarr$ $RR^2$ definita da g: $(3x-y,z+x)$
Verificare se $ g • f $ è suriettiva.
Ho un problema nel verificare la composizione delle applicazioni lineari.
Una volta determinata l'applicazione f:
$(x+3y,2x+z,2x-6y+2z)$ come faccio a calcolare g•f?
f: $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ rappresentata dalla matrice
$((1,3,0),(2,0,1),(2,-6,2))$
e g: $RR^3$ $rarr$ $RR^2$ definita da g: $(3x-y,z+x)$
Verificare se $ g • f $ è suriettiva.
Ho un problema nel verificare la composizione delle applicazioni lineari.
Una volta determinata l'applicazione f:
$(x+3y,2x+z,2x-6y+2z)$ come faccio a calcolare g•f?
Risposte
"Sergio":
Io farei il contrario: qual è la matrice associata a $g$?
Dalla traccia solo f ha una matrice associata.
La composta di due funzioni \( X\xrightarrow{f} Y\xrightarrow{g} Z \) è la funzione \( g\circ f \) ("gi dopo effe") che mappa \( x\mapsto g(f(x)) \). Affinché sia suriettiva è necessario, ma non sufficiente, che l'"ultima" freccia lo sia. Io verificherei prima di tutto che \( g \) sia suriettiva. La composta di due suriettive è suriettiva, è ovvio.
La dimensione dell'immagine di \( f \) è \( 2 \) (perché puoi scrivere il secondo vettore come tre volte il primo più sei volte il terzo; e basta c:), quindi non è suriettiva. La \( g \) invece lo è (scrivi la sua matrice rispetto alle basi canoniche, e vedi se riesci a cavarne il rango; o calcola \( \operatorname{Ker}g \), che mi pare più veloce da farsi). Quindi di speranze ce ne sono, ma purtroppo tocca o 1) determinare la matrice di \( g\circ f \), moltiplicando la matrice di \( g \) per quella di \( g \); oppure 2) determinare l'espressione di \( f \) in un generico \( x\in\mathbb R^3 \) e trovare \( g(f(x)) \) per un generico \( x\in\mathbb R^3 \).
L'1) mi sembra essere il meno fastidioso (puoi ridurre, almeno).
La dimensione dell'immagine di \( f \) è \( 2 \) (perché puoi scrivere il secondo vettore come tre volte il primo più sei volte il terzo; e basta c:), quindi non è suriettiva. La \( g \) invece lo è (scrivi la sua matrice rispetto alle basi canoniche, e vedi se riesci a cavarne il rango; o calcola \( \operatorname{Ker}g \), che mi pare più veloce da farsi). Quindi di speranze ce ne sono, ma purtroppo tocca o 1) determinare la matrice di \( g\circ f \), moltiplicando la matrice di \( g \) per quella di \( g \); oppure 2) determinare l'espressione di \( f \) in un generico \( x\in\mathbb R^3 \) e trovare \( g(f(x)) \) per un generico \( x\in\mathbb R^3 \).
L'1) mi sembra essere il meno fastidioso (puoi ridurre, almeno).
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