Componenti parallele
salve, avevo bisogno di un chiarimento.. se devo calcolare la componente scalare e vettoriale di $v$ parrallela ad $u$ con $v=(2,-1,-1)$ e $u=(1,-2,1)$
per la componente scalare faccio $v u/||u||$ e per la componente vettoriale pensavo di fare $u (v u)/||v||^2$.... che ne pensate?
per la componente scalare faccio $v u/||u||$ e per la componente vettoriale pensavo di fare $u (v u)/||v||^2$.... che ne pensate?
Risposte
A parte il fatto che manca il segno di prodotto scalare, quella che tu chiami "componente parallela scalare" la possiamo più propriamente chiamare coefficiente di Fourier e la "componente vettoriale" si chiama proiezione ortogonale.
Ma torniamo a noi. Il coeff. di Fourier di \( \mathbf{v}\) su \( \mathbf{u}\) lo ottieni così \(c = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\|\mathbf{u}\|}\), che è quello che hai scritto tu ed è giusto. Adesso per ottenere la prioezione ortogonale basta "dargli un verso" senza modificarne il modulo e quindi:
\[c \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|} = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\|\mathbf{u}\|} \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|} = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2}\]
Ma torniamo a noi. Il coeff. di Fourier di \( \mathbf{v}\) su \( \mathbf{u}\) lo ottieni così \(c = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\|\mathbf{u}\|}\), che è quello che hai scritto tu ed è giusto. Adesso per ottenere la prioezione ortogonale basta "dargli un verso" senza modificarne il modulo e quindi:
\[c \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|} = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\|\mathbf{u}\|} \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|} = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2}\]
perfetto! grazie per la precisione
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