Componenti di un vettore rispetto ad una base

[francescoipp]

Salve, un esercizio mi fornisce quattro vettori:
$ vec(u) (-2, 1, 0); vec(v) (1, 2, 0); vec(w) (0, 2, -1); vec(t) (1, 0, 1) $

Come primo punto l'esercizio mi chiede di verificare che $ vec(u), vec(v), vec(w) $ siano indipendenti.

Metto a sistema le equazioni ed ottengo che $ x=y=z=0 $, dunque i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Come secondo punto, l'esercizio mi chiede di trovare le componenti del vettore $ t $, assegnata una nuova base $ B' = {vec(u), vec(v), vec(w)} $. Come risolvo questo punto? Vi ringrazio

[vict85]

[xdom="vict85"]Sposto in Geometria e Algebra Lineare.[/xdom]

[francescoipp]

Scusate, ho sbagliato categoria!

[Magma1]

"Fraccio":Come secondo punto, l'esercizio mi chiede di trovare le componenti del vettore $ t $, assegnata una nuova base $ B' = {vec(u), vec(v), vec(w)} $. Come risolvo questo punto? Vi ringrazio

Equivale a scrivere $t$ come C.L. dei vettori della base $B'$:

$a u+b v+c w=t$

i valori di $a, b, c$ trovati rappresentano le componenti del vettore $t$ in base $B'$, cioè $[t]_(B')=((a), (b), (c))$

[francescoipp]

Ovvero come posso scriverlo?

[Magma1]

Risolvendo il sistema lineare dato da:

$au+bv+cw=t hArr a ( (-2), (1), (0) )+b( (1), (2), (0) )+c( (0), (2), (-1) )=( (1), (0), (1) ) hArr$


$hArr { ( -2a+b=1 ),( a+2b+2c=0 ),( -c=1 ):} hArr { ( a=2/5 ),( b=4/5 ),( c=-1 ):} $

$rArr [t]_(B')=((2/5), (4/5), (-1))$

[francescoipp]

Perfetto, forse hai commesso un piccolo errore di calcolo, e le componenti sono dunque $ (0, 1, -1) $.

Ora cosa dovrei fare, se a partire dai vettori $ vec(u), vec(v) $ dovessi trovarmi una base ortonormale?

[Magma1]

Opss... hai ragione!

Comunque per quando riguarda la seconda domanda intendi una base ortonormale contenente $u, v$?

Posta un tuo tentativo per capire cosa non ti è chiaro, magari scrivendo anche quali sono i requisiti di una base ortonormale.

[francescoipp]

A partire dai vettori $ vec(u), vec(v) $ devo trovarmi una base ortonormale di $V_3$.

Ho dato l'esame di geometria ed algebra circa due anni fa, quindi non ricordo molto... Se non sbaglio devo utilizzare il metodo di Gram-Schmidt?

[francescoipp]

Non so se ho sbagliato, ma usando Gram-Schmidt, ottengo una base ortonormale costituita da gli stessi vettori $ vec(u), vec(v) $.

[Magma1]

Allora una base ortogonale è una base in cui i vettori sono a due a due ortogonali,
cioè se $mathcal (A)= {v_1, ..., v_n}$ è una base ortogonale, allora $v_i _|_ v_j hArr =0, AA i ne j$


La base $mathcal (A)= {v_1, ..., v_n}$ si dirà ortonormale se ${ ( =0; AA i ne j),( =1 ):}$

cioè i vettori sono a due a due ortogonali e $||v_i||=1 $

-------------------------------------

Ora, si nota subito che i vettori $u, v$ sono già ortogonali :$ = (-2, 1,0) ((1), (2), (0))=0$

mentre $w$ non è ortogonale a nessuno dei due[nota]$ =2$; $ =4$[/nota]; quindi per ortogonalizzare $w$ occorre applicare Gram-Schmidt:

$w'=w- ()/() u - ()/() v=...$

Però la base $ mathcal (A')={u, v, w'}$ è una base ortogonale, ma non ortonormale, in quanto $u, v$ (e probabilmente anche $w'$) non hanno norma pari a $1$, per farlo basta dividere ciascun vettore per la sua norma:

se $||z||ne 1 rArr z_1=z/||z||=z/(sqrt()$

$||u||=sqrt()=sqrt(5)$ $-> u_1=u/sqrt(5)=1/sqrt(5) (-2,1,0)$

$||v||=sqrt()=sqrt(5)$ $-> v_1=v/sqrt(5)=1/sqrt(5) (1,2,0) $

$||w||=...$

[francescoipp]

Bene, per vedere se ho capito ci provo con un altro esercizio.

Ho i vettori: $ vec(u) (-1, -1, 1); vec(v) (3, 1, -1); vec(w) (1, 0, -1); vec(t) (1, 0, 1) $.

- Come primo punto devo verificare che $ vec(u), vec(v) $ e $ vec(w) $ siano linearmente indipendenti.

Ottengo un sistema: $ { ( -x+3y+z=0 ),( -x+y=0 ),( x-y-z=0 ):}{ ( y=0 ),( y=x=0 ),( z=0 ):} $, dunque $ vec(u), vec(v) $ e $ vec(w) $ sono linearmente indipendenti poiché l'equazione $ xvec(u)+yvec(v)+zvec(w) $ ammette solo la soluzione nulla.

- Come secondo punto devo determinare le componenti di $ vec(t) $ in una nuova base $B'={vec(u), vec(v), vec(w)}$.

In questo caso $ au+bv+cw=t $, dunque ottengo un sistema $ { ( -a+3b+c=1 ),( -a+b=0 ),( a-b-c=1 ):}{ ( a=1 ),( b=1 ),( c=-1 ):} $, e quindi il vettore cercato sarà: $ [t]_(B')=| ( 1 ),( 1 ),( -1 ) | $.

- Il terzo punto mi dice che a partire dai vettori $vec(u)$ e $vec(v)$ devo determinare una base ortonormale di $V_3$.

Dunque, prima mi trovo una base ortogonale $$ tramite il metodo di Gram-Schmidt, dove:
$ vec(u_1)=vec(u)=| ( -1 ),( -1 ),( 1 ) | $ e $ vec(v_1)=vec(v)-(vec(v)*vec(u_1))/(vec(u_1)*vec(u_1))=| ( 3 ),( 1 ),( -1 ) | - (-3)/3*| ( -1 ),( -1 ),( 1 ) | = | ( 2 ),( 0 ),( 0 ) |$.

Dalla base ortogonale, ottengo la base ortonormale $$, normalizzando i vettori:
$vec(e_1)=vec(u_1)/||u_1||=| ( -1/sqrt3 ),( -1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ) | $ e $vec(e_2)=vec(v_1)/||v_1||=| ( 1 ),( 0),( 0 ) | $.

Tutto corretto?

[Magma1]

La parte precedente è giusta

"Fraccio":
- Il terzo punto mi dice che a partire dai vettori $vec(u)$ e $vec(v)$ devo determinare una base ortonormale di $V_3$.

$V_3 sub RR^3$ con $dim(V_3)=2$, oppure $V_3=RR^3$?
Nel primo caso, è giusto che la base abbia due vettori, altrimenti, se ricadi nel secondo caso, mancherebbe un ulteriore vettore per avere una base!

"Fraccio":Dunque, prima mi trovo una base ortogonale $$ tramite il metodo di Gram-Schmidt, dove:
$ vec(u_1)=vec(u)=| ( -1 ),( -1 ),( 1 ) | $ e

$ vec(v_1)=vec(v)-(vec(v)*vec(u_1))/(vec(u_1)*vec(u_1))=| ( 3 ),( 1 ),( -1 ) | - (-3)/3*| ( -1 ),( -1 ),( 1 ) | = | ( 2 ),( 0 ),( 0 ) |$.

$ vec(v_1)=vec(v)-(vec(v)*vec(u_1))/(vec(u_1)*vec(u_1))=| ( 3 ),( 1 ),( -1 ) | + (5)/3*| ( -1 ),( -1 ),( 1 ) | = | (4/3 ),(-2/3 ),( 2/3 ) |$

Spero di non aver fatto errori di calcolo.
Anche il relativo vettore normalizzato bisogna ricalcolarlo



P.S. È facile commettere errori di calcolo, quindi è utile spesso fare dei controlli di verifica, ad esempio:

$<(-1,-1,1); ((2),(0),(0))> =-2 ne 0 rArr$ i due vettori non sono ortogonali!

[francescoipp]

Allora, precisamente la traccia mi dice che a partire dai vettori $vec(u)$ e $vec(v)$ devo determinare una base ortonormale di $V_3$.

[Magma1]

In ogni caso se la $dim(V)=nalmeno $n$ generatori.

Pertanto, rifacendomi all'esercizio precedente, se $dim(V)=3 rArr {u_1, v_1}$ non è una base[nota]Una base è un insieme di vettori che sono sia generatori e sia l.i.[/nota][nota]In quanto i vettori contenuti non sono dei generatori[/nota], ma un insieme di vettori l.i.. Pertanto nemmeno quella che hai trovato applicando Gram-Schmidt è una base ortonormale, ma semplicemente (se fosse stata corretta) un insieme di vettori indipendenti e ortonormali.

Spero di esser stato chiaro!