Componenti di un vettore in una nuova base
Salve!
Volevo porvi un dubbio che mi è venuto a riguardo del trovare le componenti di un vettore $ v $ in una nuova base $ B $ diversa da quella canonica...
Mi spiego facendo un esempio molto breve...
Ad esempio se devo esprimere il vettore $ v=(1,1) $ (rispetto a base canonica) in una nuova base $ B=(b_1,b_2)=[\(1,0);(1,1)] $ il professore ci ha insegnato che per trovare le componenti rispetto alla nuova base canonica dovrei in teoria risolvere un'equazione del tipo:
$ v=(1,1)=c_1b_1+c_2b_2 $
$ (1,1)=c_1(1,0)+c_2(1,1) $
risolvendo il sistema associato (magari per i piu complessi conviene ricondurlo a forma matriciale e usare la riduzione di gauss) trovo che:
$ c_1=0 $
$ c_2=1 $
Cioè il vettore $ v $ nella nuova base diventa:
$ v=(0,1)=0b_1+1b_2 $
Ora guardando su un libro e anche su internet ho scoperto che è possibile ricavare le componenti (cioè i coefficienti $ c_i $della combinazione lineare con la nuova base) di un vettore rispetto a una certa base note le componenti rispetto a una base iniziale attraverso i "coefficienti di fourier" cioè:
$ v=sum_(b_iin B) b_i $
cioè i coefficienti della combinazione lineare con i vettori base che altro non sono che le sue componenti sono:
$ c_i= $
N.B: questo da quanto capito SOLO se la base $ B $ è ORTONORMALE. (e ho provato per una base ortonormale e funziona,senza dovermi quindi risolvere un sistema trovo le componenti del vettore...calcolarmi un prodotto scalare spesso è ben piu facile )
Arrivo ora al dunque: per una base che non è ortonormale ho trovato questa corrispettiva formula
$ v=sum_(b_iin B)()/(|b_i|^2)b_i $
dunque dovrei presumere che i coefficienti che rappresentano le componenti nella nuova base dovrebbero essere:
$ c_i=()/(|b_i|^2 $
ma se ad esempio considero il problema iniziale (dove la base non è ortonormale) $ c_1=0,c_2=1 $ e applico questa regola non trovo affatto le stesse componenti che ho trovato risolvendo il sistema che erano $ c_1=0,c_2=1 $ (e che so per certo che sono giuste)!!
Infatti con questo metodo avrei che:
$ c_1= (1*1+1*0)/1=1 $
$ c_2= (1*1+1*1)/2=1 $
mentre risolvendo il sistema ripeto troverei $ c_1=0,c_2=1 $
QUalcuno di buona volontà potrebbe spiegarmi il motivo di questa discrepanza per una base non ortonormale?...è tutta la sera che sto cercando di sforzarmi ma non riesco a capire
Grazie!!
Volevo porvi un dubbio che mi è venuto a riguardo del trovare le componenti di un vettore $ v $ in una nuova base $ B $ diversa da quella canonica...
Mi spiego facendo un esempio molto breve...
Ad esempio se devo esprimere il vettore $ v=(1,1) $ (rispetto a base canonica) in una nuova base $ B=(b_1,b_2)=[\(1,0);(1,1)] $ il professore ci ha insegnato che per trovare le componenti rispetto alla nuova base canonica dovrei in teoria risolvere un'equazione del tipo:
$ v=(1,1)=c_1b_1+c_2b_2 $
$ (1,1)=c_1(1,0)+c_2(1,1) $
risolvendo il sistema associato (magari per i piu complessi conviene ricondurlo a forma matriciale e usare la riduzione di gauss) trovo che:
$ c_1=0 $
$ c_2=1 $
Cioè il vettore $ v $ nella nuova base diventa:
$ v=(0,1)=0b_1+1b_2 $
Ora guardando su un libro e anche su internet ho scoperto che è possibile ricavare le componenti (cioè i coefficienti $ c_i $della combinazione lineare con la nuova base) di un vettore rispetto a una certa base note le componenti rispetto a una base iniziale attraverso i "coefficienti di fourier" cioè:
$ v=sum_(b_iin B)
cioè i coefficienti della combinazione lineare con i vettori base che altro non sono che le sue componenti sono:
$ c_i=
N.B: questo da quanto capito SOLO se la base $ B $ è ORTONORMALE. (e ho provato per una base ortonormale e funziona,senza dovermi quindi risolvere un sistema trovo le componenti del vettore...calcolarmi un prodotto scalare spesso è ben piu facile )
Arrivo ora al dunque: per una base che non è ortonormale ho trovato questa corrispettiva formula
$ v=sum_(b_iin B)(
dunque dovrei presumere che i coefficienti che rappresentano le componenti nella nuova base dovrebbero essere:
$ c_i=(
ma se ad esempio considero il problema iniziale (dove la base non è ortonormale) $ c_1=0,c_2=1 $ e applico questa regola non trovo affatto le stesse componenti che ho trovato risolvendo il sistema che erano $ c_1=0,c_2=1 $ (e che so per certo che sono giuste)!!
Infatti con questo metodo avrei che:
$ c_1= (1*1+1*0)/1=1 $
$ c_2= (1*1+1*1)/2=1 $
mentre risolvendo il sistema ripeto troverei $ c_1=0,c_2=1 $
QUalcuno di buona volontà potrebbe spiegarmi il motivo di questa discrepanza per una base non ortonormale?...è tutta la sera che sto cercando di sforzarmi ma non riesco a capire
Grazie!!
Risposte
Quel metodo richiede che per ogni coppia \(\displaystyle \mathbf{b}_i,\mathbf{b}_j\in\mathcal{B} \), \(\displaystyle \frac{\langle \mathbf{b}_i, \mathbf{b}_j \rangle}{\lvert\mathbf{b}_j\rvert\lvert\mathbf{b}_j\rvert} = \delta_{ij}\) (il solito delta di Kronecker) ovvero che la base sia \(\displaystyle \mathcal{B} \) sia ortogonale. Devo dire che il nome coefficienti di Fourier mi è nuovo, seppur capisca da dove viene fuori, dove lo hai trovato?
La dimostrazione è in realtà piuttosto semplice. Sia \(\displaystyle \mathbf{v} = \sum \alpha_i\mathbf{b}_i \) allora per ogni \(\displaystyle \mathbf{b}_j \) si ha che \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, \mathbf{b}_j \rangle = \langle \sum \alpha_i\mathbf{b}_i, \mathbf{b}_j \rangle = \sum \alpha_i\langle \mathbf{b}_i, \mathbf{b}_j \rangle = \alpha_j \lvert \mathbf{b}_j \rvert^2\).
Nel caso non ortogonale l'ultimo passaggio è impossibile e quindi ti devi fermare al passaggio precedente. Ti è chiaro questo punto? Insomma in generale devi risolvere il sistema.
Non so se hai visto il concetto di prodotto scalare “generalizzato”, nel caso tu sappia di cosa parlo è importante osservare che la proprietà non dipende dal prodotto scalare scelto ma solo dal fatto che la base è ortogonale rispetto a quel particolare prodotto.
La dimostrazione è in realtà piuttosto semplice. Sia \(\displaystyle \mathbf{v} = \sum \alpha_i\mathbf{b}_i \) allora per ogni \(\displaystyle \mathbf{b}_j \) si ha che \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, \mathbf{b}_j \rangle = \langle \sum \alpha_i\mathbf{b}_i, \mathbf{b}_j \rangle = \sum \alpha_i\langle \mathbf{b}_i, \mathbf{b}_j \rangle = \alpha_j \lvert \mathbf{b}_j \rvert^2\).
Nel caso non ortogonale l'ultimo passaggio è impossibile e quindi ti devi fermare al passaggio precedente. Ti è chiaro questo punto? Insomma in generale devi risolvere il sistema.
Non so se hai visto il concetto di prodotto scalare “generalizzato”, nel caso tu sappia di cosa parlo è importante osservare che la proprietà non dipende dal prodotto scalare scelto ma solo dal fatto che la base è ortogonale rispetto a quel particolare prodotto.
penso di aver capito 
L'esempio che avevo fatto riguardava una base $ B=[(1,0);(1,1)] $ dove appunto i singoli vettori sono si linearmente indipendenti ma non ortogonali infatti il prodotto scalare tra i due vettori non è nullo e dunque non potrei procedere nello stesso modo di una base ortogonale....
Anche io non sapevo si chiamassero cosi ma spulciando un po' su internet ho trovato questo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Base_ortonormale
dove ne fa cenno nella sottosezione "definizione".
Ora non so quanto sia affidabile però....
L'esempio che avevo fatto riguardava una base $ B=[(1,0);(1,1)] $ dove appunto i singoli vettori sono si linearmente indipendenti ma non ortogonali infatti il prodotto scalare tra i due vettori non è nullo e dunque non potrei procedere nello stesso modo di una base ortogonale....
Anche io non sapevo si chiamassero cosi ma spulciando un po' su internet ho trovato questo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Base_ortonormale
dove ne fa cenno nella sottosezione "definizione".
Ora non so quanto sia affidabile però....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo