Componenti connesse e omologia

[pippo14]

Ciao,

non riesco a capire come calcolare le componenti connesse di un Disco chiuso e di un cerchio.
Considerando il complementare, il disco è 1+1-connesso, mentre il complementare del cerchio credo sia 2+1-connesso. L'unione invece dovrebbe essere (disco + cerchio+ 1) - connesso
E' giusto o sbaglio qualcosa?

[Pappappero1]

Devi spiegare la tua notazione. Cosa intendi con $1+1$-connesso?

[pippo14]

sia U $\subseteq R^2$ aperto e sia A il complementare $R^2 \backslash U$.
Diremo che U è (m+1)-connesso per un opportuno intero m $>=$ 0 se il complementare di U ha la forma

$A = A_1 \cup A_2 \cup ... A_m \cup A_\infty$

[Pappappero1]

E che proprieta' hanno gli $A_j$?

In genere $n$-connesso (come si spiega qui) significa che i primi $n$ gruppi di omotopia sono banali.

[killing_buddha]

"pippo1468":sia U $\subseteq R^2$ aperto e sia A il complementare $R^2 \backslash U$.
Diremo che U è (m+1)-connesso per un opportuno intero m $>=$ 0 se il complementare di U ha la forma

$A = A_1 \cup A_2 \cup ... A_m \cup A_\infty$

Questa definizione non ha alcun senso a meno che tu non supponga che gli $A_n$ siano tutti disgiunti (ovvero che l'unione sia disgiunta). Anche cosi' poi non e' che mi convinca molto: uno vorrebbe una qualche relazione con la nozione di connessione/connessione per archi, ma non la vedo (prendi il grafico di \( x \mapsto \sin(\frac{1}{|x|})\)).