Componenti connesse

[ficus2002]

Chi sono le componenti connesse di $RR\setminus QQ$? e di $QQ$? e dell'insieme di Cantor?
(con topologia euclidea)

[Luca.Lussardi]

Un po' difficile parlare di componenti connesse per insiemi che non sono nè aperti nè chiusi, come è Q o il suo complementare.

[zorn1]

$QQ$ ed $RR\QQ$ sono totalmente sconnessi quindi le loro componenti connesse sono i punti stessi.

L'insieme di Cantor, essendo privo di punti interni, non contiene intervalli (uniche componenti connesse non puntiformi dell'asse reale) quindi è anch'esso totalmente sconnesso.

[Luca.Lussardi]

Sì, anche se è una definizione un po' degenere, spesso la connessione è utile se messa su aperti, sui quali coincide con la connessione per archi.

[zorn1]

Sì Luca Lussardi ma la nozione di connessione della retta reale è molto semplice, altro non sono che gli intervalli... perché invocare la relazione connessione / connessione per archi?

[ficus2002]

"zorn":Sì Luca Lussardi ma la nozione di connessione della retta reale è molto semplice, altro non sono che gli intervalli... perché invocare la relazione connessione / connessione per archi?

Si, io intendo la connessione di spazi topologici, cioè $X$ spazio topologico è connesso se non è la riunione di due suoi aperti non vuoti e disgiunti

"zorn":$QQ$ ed $RR\setminus QQ$ sono totalmente sconnessi quindi le loro componenti connesse sono i punti stessi.

Concordo. Mi era venuto il dubbio perchè ero erroneamente convinto che le componenti connesse di uno spazio topologico fossero sia aperte che chiuse, invece possono non essere aperte (come in questo caso).
Il fatto che è totalmente disconnesso $QQ$ dovrebbe seguire dal fatto che ogni sottoinsieme di $QQ$ con almeno due elementi può essere sconnesso per via della densità di $RR$ in $QQ$.

[zorn1]

Sì è proprio per la densità: poiché tra due reali c'è sempre un razionale $RR \ QQ$ non contiene intervalli, cioè componenti connesse non puntiformi

[Luca.Lussardi]

Ho invocato la connessione per archi perchè è facile da vedere e verificare, moto più di quella topologica usuale. Per gli insiemi aperti la connessione per archi coincide con quella topologica. Se l'insieme non è aperto non è più vero.