Completezza,chiusura e limitatezza non implicano compatezza in uno spazio metrico
Sia $X$ è uno spazio metrico completo e sia $K$ un sottoinsieme chiuso e limitato di $X$. E' vero che $K$ deve essere compatto?
No è falso, consideriamo $X$ un insieme infinito è usiamo la metrica discreta. Ci sono due modi per mostrarlo:
1) la topologia indotta dalla metrica discreta è quella discreta quindi su ogni sottoinsieme infinito di $X$ la topologia di sottospazio è discreta e quindi non può essere compatto.
2) Preso un qualunque sottoinsieme infinito di $X$ esso non è totalmente limitato (per assurdo basta usare palle di raggio $epsilon<1$ si hanno solo i singoli punti e l'unione finita di singoli punti non può contenere un insieme infinito) e quindi non può essere compatto dato che se lo fosse dovrebbe anche essere totalmente limitato.
No è falso, consideriamo $X$ un insieme infinito è usiamo la metrica discreta. Ci sono due modi per mostrarlo:
1) la topologia indotta dalla metrica discreta è quella discreta quindi su ogni sottoinsieme infinito di $X$ la topologia di sottospazio è discreta e quindi non può essere compatto.
2) Preso un qualunque sottoinsieme infinito di $X$ esso non è totalmente limitato (per assurdo basta usare palle di raggio $epsilon<1$ si hanno solo i singoli punti e l'unione finita di singoli punti non può contenere un insieme infinito) e quindi non può essere compatto dato che se lo fosse dovrebbe anche essere totalmente limitato.
Risposte
Sì, tutto chiaro e corretto!
P.S.: se cerchi nel forum trovi anche altri esempi...
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"j18eos":
Sì, tutto chiaro e corretto!
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ok, grazie!
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