Completezza spazio dato da unione di compatti.
Sia \( (X,d) \) uno spazio metrico tale che \( (C_n)_{n \in \mathbb{N}} \) sono compatti per successioni tale che \( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n = X \), allora \( (X,d) \) è completo. Se vero dimostra se falso controesempio.
Io penso sia falso. Ma non so se il controesempio vada bene
Considero \( (0,1) \) con la topologia euclidea. Allora abbiamo che \( C_n = [ 1/n, 1- 1/n ] \) è compatto e dunque compatto per successioni (siccome è uno spazio metrico, le due compatezze sono equivalenti).
Inoltre \( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n = (0,1) \).
Però se prendiamo ad esempio la successione \( x_n = 1/n \) è di Cauchy ma non converge poiché "converge" al di fuori dello spazio.
Io penso sia falso. Ma non so se il controesempio vada bene
Considero \( (0,1) \) con la topologia euclidea. Allora abbiamo che \( C_n = [ 1/n, 1- 1/n ] \) è compatto e dunque compatto per successioni (siccome è uno spazio metrico, le due compatezze sono equivalenti).
Inoltre \( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n = (0,1) \).
Però se prendiamo ad esempio la successione \( x_n = 1/n \) è di Cauchy ma non converge poiché "converge" al di fuori dello spazio.
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