Completare sistema di vettori ad una base

[xMauri94]

Ciao a tutti, ho questo sistema di vettori:

$ S_2 = {(1,0,2),(0,1,-1),(0,1,-1)} $

Ho verificato che il seguente sistema di vettori è linearmente indipendente, ma non è un sistema di generatori. Se però volessi completarlo ad una base di $ R^3 $ , è corretto aggiungere , ad esempio, il vettore $ (0, 0, 1) $ ? Riuscirebbe a diventare una base di $ R^3 $ ?

Grazie a tutti!

[vict85]

Quei tre vettori non sono linearmente indipendenti e se lo fossero sarebbero una base, direi che devi ripassare un po' di teoria. Comunque il vettore che hai segnalato rende il sistema un sistema di generatori, ma non una base.

[xMauri94]

Ciao, la verifica sull'indipendenza l'ho fatta applicando la teoria, cioè:

$ a(1,0,2) + b(0,1,-1) + c(0,1,-1) = (0,0,0) $ con $ a,b,c € R $
$ (a,0,2a)+(0,b,-b)+(0,c,-c) = (0,0,0) $

Se $ a = b = c = 0 $ i vettori sono linearmente indipendenti.
Ma per far uscire $ (0,0,0) $ , $ a,b,c $ dovrebbero per forza rispettare quella condizione, o sbaglio?

[vict85]

Prova \(a = 0\), \(b = 1\) e \(c=-1\).

[xMauri94]

Hai ragione, che stupido.. mi sono distratto nella verifica finale.
Okay grazie mille =)