Completare sistema di vettori ad una base

xMauri94
Ciao a tutti, ho questo sistema di vettori:

$ S_2 = {(1,0,2),(0,1,-1),(0,1,-1)} $

Ho verificato che il seguente sistema di vettori è linearmente indipendente, ma non è un sistema di generatori. Se però volessi completarlo ad una base di $ R^3 $ , è corretto aggiungere , ad esempio, il vettore $ (0, 0, 1) $ ? Riuscirebbe a diventare una base di $ R^3 $ ?

Grazie a tutti!

Risposte
vict85
Quei tre vettori non sono linearmente indipendenti e se lo fossero sarebbero una base, direi che devi ripassare un po' di teoria. Comunque il vettore che hai segnalato rende il sistema un sistema di generatori, ma non una base.

xMauri94
Ciao, la verifica sull'indipendenza l'ho fatta applicando la teoria, cioè:

$ a(1,0,2) + b(0,1,-1) + c(0,1,-1) = (0,0,0) $ con $ a,b,c € R $
$ (a,0,2a)+(0,b,-b)+(0,c,-c) = (0,0,0) $

Se $ a = b = c = 0 $ i vettori sono linearmente indipendenti.
Ma per far uscire $ (0,0,0) $ , $ a,b,c $ dovrebbero per forza rispettare quella condizione, o sbaglio?

vict85
Prova \(a = 0\), \(b = 1\) e \(c=-1\).

xMauri94
Hai ragione, che stupido.. mi sono distratto nella verifica finale.
Okay grazie mille =)

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