Completare sistema di vettori ad una base
Ciao a tutti, ho questo sistema di vettori:
$ S_2 = {(1,0,2),(0,1,-1),(0,1,-1)} $
Ho verificato che il seguente sistema di vettori è linearmente indipendente, ma non è un sistema di generatori. Se però volessi completarlo ad una base di $ R^3 $ , è corretto aggiungere , ad esempio, il vettore $ (0, 0, 1) $ ? Riuscirebbe a diventare una base di $ R^3 $ ?
Grazie a tutti!
$ S_2 = {(1,0,2),(0,1,-1),(0,1,-1)} $
Ho verificato che il seguente sistema di vettori è linearmente indipendente, ma non è un sistema di generatori. Se però volessi completarlo ad una base di $ R^3 $ , è corretto aggiungere , ad esempio, il vettore $ (0, 0, 1) $ ? Riuscirebbe a diventare una base di $ R^3 $ ?
Grazie a tutti!
Risposte
Quei tre vettori non sono linearmente indipendenti e se lo fossero sarebbero una base, direi che devi ripassare un po' di teoria. Comunque il vettore che hai segnalato rende il sistema un sistema di generatori, ma non una base.
Ciao, la verifica sull'indipendenza l'ho fatta applicando la teoria, cioè:
$ a(1,0,2) + b(0,1,-1) + c(0,1,-1) = (0,0,0) $ con $ a,b,c € R $
$ (a,0,2a)+(0,b,-b)+(0,c,-c) = (0,0,0) $
Se $ a = b = c = 0 $ i vettori sono linearmente indipendenti.
Ma per far uscire $ (0,0,0) $ , $ a,b,c $ dovrebbero per forza rispettare quella condizione, o sbaglio?
$ a(1,0,2) + b(0,1,-1) + c(0,1,-1) = (0,0,0) $ con $ a,b,c € R $
$ (a,0,2a)+(0,b,-b)+(0,c,-c) = (0,0,0) $
Se $ a = b = c = 0 $ i vettori sono linearmente indipendenti.
Ma per far uscire $ (0,0,0) $ , $ a,b,c $ dovrebbero per forza rispettare quella condizione, o sbaglio?
Prova \(a = 0\), \(b = 1\) e \(c=-1\).
Hai ragione, che stupido.. mi sono distratto nella verifica finale.
Okay grazie mille =)
Okay grazie mille =)