Completamento di una base
Salve, vorrei che mi deste uno sguardo allo svolgimento di questo esercizio che non riesco a concludere. Il testo chiede, dati due sottoinsiemi:
$U={p(x) in RR_3[x] : p'(0)=p(-1)=0}$
$W={a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 in RR_3[x] : a_1=0}$
- provare che sono sottospazi di $RR_3[x]$
- determinare i sotto spazi somma e intersezione tra W e U e determinarne poi una base e la dimensione
- nel caso in cui lo spazio U+W sia uno spazio proprio di $RR_3[x]$ completarne la base ad una base di $RR_3[x]$
Allora, ho verificato che sono sottospazi. Ora voglio caratterizzare i due sottospazi:
per lo spazio U, le codizioni da rispettare sono:
$p'(0)=a_1x+2a_2x+3a_3x^2=0$ $a_1=0$
$p(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3=0$ = $p(-1)=a_0+a_2-a_3=0$ ovvero $a_0+a_2=a_3$
quindi i polinomi p(x) appartenenti a U saranno del tipo $p(x)=a_0x+a_2x^2+(a_0+a_2)x^3$ dove $(1+x^2),(x^2+x^3)$ è il sistema di generatori e una base che, scritta secondo l'isomorfismo $RR_3[x]=RR^4$ e in forma matriciale: $BU=((1,0),(0,0),(1,1),(0,1))$ che ha dimensione 2.
Per quanto riguarda il sottospazio W, scritto secondo l'isomorfismo $RR_3[x]=RR^4$ e tenendo conto della condizione $a_1=0$ sarà $RR^4=(a_0,0,a_2,a_3)$ la cui base: $BW=(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ di dimensione 3.
Andiamo alla somma dei due sottospazi, mettendo assieme in forma matriciale le basi di U e W otteniamo la matrice
$((1,0,1,0,0),(0,0,0,0,0),(0,1,0,1,0),(1,1,0,0,1))$ dove è ben visibile che le ultime due colonne sono linearmente dipendenti dalle prime tre, oppure eliminando la seconda riga nulla, rimangono tre righe linearmente indipendenti, quindi la base del sottospazio somma è $B(U+W)=(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0)$ la cui dimensione è minore dello spazio $RR_3[x]$ o $RR^4$, quindi (U+W) è un sottospazio proprio di $RR_3[x]$.
Ora, ammesso non ci siano errori, come completo questa base?
$U={p(x) in RR_3[x] : p'(0)=p(-1)=0}$
$W={a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 in RR_3[x] : a_1=0}$
- provare che sono sottospazi di $RR_3[x]$
- determinare i sotto spazi somma e intersezione tra W e U e determinarne poi una base e la dimensione
- nel caso in cui lo spazio U+W sia uno spazio proprio di $RR_3[x]$ completarne la base ad una base di $RR_3[x]$
Allora, ho verificato che sono sottospazi. Ora voglio caratterizzare i due sottospazi:
per lo spazio U, le codizioni da rispettare sono:
$p'(0)=a_1x+2a_2x+3a_3x^2=0$ $a_1=0$
$p(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3=0$ = $p(-1)=a_0+a_2-a_3=0$ ovvero $a_0+a_2=a_3$
quindi i polinomi p(x) appartenenti a U saranno del tipo $p(x)=a_0x+a_2x^2+(a_0+a_2)x^3$ dove $(1+x^2),(x^2+x^3)$ è il sistema di generatori e una base che, scritta secondo l'isomorfismo $RR_3[x]=RR^4$ e in forma matriciale: $BU=((1,0),(0,0),(1,1),(0,1))$ che ha dimensione 2.
Per quanto riguarda il sottospazio W, scritto secondo l'isomorfismo $RR_3[x]=RR^4$ e tenendo conto della condizione $a_1=0$ sarà $RR^4=(a_0,0,a_2,a_3)$ la cui base: $BW=(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ di dimensione 3.
Andiamo alla somma dei due sottospazi, mettendo assieme in forma matriciale le basi di U e W otteniamo la matrice
$((1,0,1,0,0),(0,0,0,0,0),(0,1,0,1,0),(1,1,0,0,1))$ dove è ben visibile che le ultime due colonne sono linearmente dipendenti dalle prime tre, oppure eliminando la seconda riga nulla, rimangono tre righe linearmente indipendenti, quindi la base del sottospazio somma è $B(U+W)=(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0)$ la cui dimensione è minore dello spazio $RR_3[x]$ o $RR^4$, quindi (U+W) è un sottospazio proprio di $RR_3[x]$.
Ora, ammesso non ci siano errori, come completo questa base?
Risposte
Abbiamo tre vettori linearmente indipendenti con i quali possiamo con opportune combinazioni lineari tre vettori della base canonica tranne uno, quale?
Trovalo e completerai la base
Trovalo e completerai la base
premetto di non aver capito bene il senso della frase, provo però a rispondermi da solo. Penso che la base di (U+W) scritta così non sia molto corretta o meglio fuorviante, perchè, prendendo i vettori della base canonica, io direi che questi sono (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) di cui, il primo è già presente mentre gli altri due sono già stati esclusi nella matrice BU+BW in quanto linearmente dipendenti con i primi tre. Scriverei invece la base di (U+W) come (1,0,0,1),(0,0,1,1);(1,0,0,0) dove, l'unico vettore della base canonica di R3[x] che li completa è (0,1,0,0). A questo punto mi viene però un dubbio, visto che entrambi i sottospazi avevano come condizione a1=0, è possibile che la base della somma possa contenere, una volta completata con (0,1,0,0), a1?
Il completamento a base è un procedimento che ti permette partendo da una base di un sottospazio proprio dello spazio vettoriale V di aggiungere/ottenere tutti gli altri vettori necessari ad generare tutto V che mancano.
Per rispondere alla tua domanda, una volta completata la base, la nuova base genererà tutto V
Per rispondere alla tua domanda, una volta completata la base, la nuova base genererà tutto V
ok perfetto, grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo