Completamento di un sottospazio aperto

[anto_zoolander]

ciao!

ho il seguente esercizio che sembra difficilotto

sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo e sia $A$ un sottoinsieme aperto.
Dimostrare che esiste una metrica $h$ su $A$ tale per cui $(A,h)$ sia completo e induca la topologia di sottospazio

ho cominciato ragionando sul primo punto chiedendomi che proprietà dovesse rispettare una possibile metrica.
Pensando ad un esempio suggerito come hint, ossia

$A=$[size=85]$(-pi/2,pi/2)$[/size] è completo con la metrica $h(x,y)=abs(tanx-tany)$

ho pensato che si potesse considerare una metrica del tipo $h(x,y)=d(f(x),f(y))$ con $f:A->X$

1. la funzione deve essere iniettiva per far si che $h(x,y)=0 => x=y$

2. si nota subito che, dalla definizione di $h$, le successioni ${x_n}_(n in NN)subsetA$ di Cauchy in metrica $h$ sono tutte successioni di Cauchy ${f(x_n)}_(n in NN)subsetX$ in metrica $d$

a questo punto ho provato a far partire l'idea

se ${x_n}_(n in NN) subsetA$ è di Cauchy in metrica $h$ allora ${f(x_n)}_(n inNN)subsetX$ è di Cauchy in metrica $d$.
Essendo $X$ completo allora esiste un $x in X$ per cui $f(x_n)->x$ in metrica $d$

3. a questo punto scatta subito il campanellino, se $f$ è anche biiettiva[nota]in particolare $f$ mi sembra essere un omeomorfismo in quanto sicuramente è continua visto che se fisso $x_0 in A$ e $epsilon>0$ posto $delta=epsilon$ si ha che se $h(x,x_0) o meglio risulta essere una isometria per definizione stessa[/nota] in corrispondenza di quel $x in X$ esisterà un $a in A$ per cui $x=f(a)$ ossia $f(x_n)->f(a)$ in metrica $d$ dunque $x_n->a$ in metrica $h$

quindi una funzione $f:A->X$ biiettiva risolverebbe questo problema, proprio come $tan:$[size=85]$(-pi/2,pi/2)$[/size]$->RR$

Però non mi viene nulla in mente per dimostrare che esista.

[fmnq]

Ci sono aperti per cui una tale f non esiste (per esempio perché A non è connesso).

[otta96]

O per esempio tutto lo spazio visto che non assumi che sia completo.

[anto_zoolander]

Pardon $X$ è completo, sistemo.

[otta96]

Comunque come sospetti questa non è una cosa per niente facile, se non ti viene l'idea difficilmente riesce (vabbè come tutte le cose ma in questo caso è difficile farsi venire l'idea). Vale inoltre un risultato più generale che dice che dato uno spazio metrico completo $(X,d)$, un sottospazio ammette una metrica completa equivalente a quella indotta se e solo se è unione numerabile di aperti.
Non so se considerare solo un aperto può semplificare la dimostrazione, dovrei pensarci.

[j18eos]

Prova a costruire il completamento \(\displaystyle\widetilde{A}\) di \(\displaystyle A\) rispetto alla metrica \(\displaystyle h\); dimostra che \(\displaystyle\widetilde{A}\) è un sottoinsieme di \(\displaystyle X\); concludi.

Nota: questo ragionamento funzionerebbe perché \(\displaystyle X\) è completo.

[otta96]

@j18eos ma lui deve dimostrare una cosa diversa, la metrica deve cambiare.

[Bremen000]

@anto, concordo con otta che questa cosa è piuttosto difficile. Se vuoi un hint

Considera lo spazio metrico \( ( A, h) \) dove
\[ h(x,y) := d(x,y) + \biggl | \frac{1}{d(x,X \setminus A)} - \frac{1}{d(y,X \setminus A)} \biggr | \quad \quad \text{ per ogni } x, y \in A \]
Dimostra che ogni palla di una metrica ne contiene una dell'altra e questo ti garantisce che \( (A, h) \) ha la topologia di sottospazio indotta da \( (X, d ) \). Infine mostra che le successioni di Cauchy in \( (A, h ) \) convergono.

Inoltre, se non l'hai mai visto e anche se è molto facile, per vedere che la completezza non è una proprietà topologica, ti invito a trovare due spazi metrici omeomorfi, uno completo e l'altro no.

[j18eos]

@otta96 Ah già: comunque \(\displaystyle A\) sarebbe un sottoinsieme aperto, denso ma non completo in \(\displaystyle\widetilde{A}\); ammesso che si possa costruire \(\displaystyle\widetilde{A}\)...

[anto_zoolander]

@bremen

Ma da dove ti sei uscito quel mostro?

Inoltre per quello che hai detto bastano e avanzano $RR$ e $(-1,1)$ con la funzione $f(x)=x/(1-abs(x))$

[fmnq]

> Ma da dove ti sei uscito quel mostro?

ha googlato la domanda ed esce un thread di MSE

[Bremen000]

@fmnq in realtà in questo periodo ho avuto a che fare con spazi Polacchi e quindi sapevo l'espressione "canonica" da usare. Comunque è vero, su mse se ne trova di questa roba.

[fmnq]

Sì, penso sia una dimostrazione standard tra gli addetti ai lavori, che la persona giusta che passava per MSE ha riportato

Come se qualcuno chiedesse a me se il limite di un funtore costante è sempre costante (no); ora lo sai, ma arrivarci al controesempio!

[anto_zoolander]

"fmnq":addetti ai lavori

LOL

[fmnq]

Cioè?

[anto_zoolander]

Niente; mi è piaciuta e mi ha fatto ridere.

[axpgn]

@anto
[ot]Scorrendo l'indice ho visto il tuo nome (verde, si nota ) e allora ho letto il titolo del thread:
Compleanno di un sottospazio aperto

Sono già fuso ... [/ot]

[anto_zoolander]

@alex
[ot]AHAHAHAH non sarebbe male come nuova teoria [/ot]