Completamento base

[sgabryx]

Salve a tutti!
Sto studiando per l'esame di algebra e geometria e mi sono imbattuta in un teorema di cui non trovo la dimostrazione nè sul libro nè sugli appunti.
Qualcuno saprebbe darmi materiale per quanto riguarda il teorema del completamento di una base?
Che sia link, foto, qualsiasi cosa!
Grazie infinite

[kobeilprofeta]

Cosa intendi ? Che dati $k (

Cita

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[sgabryx]

Si. Proprio questo

[kobeilprofeta]

Bastava googlare, c'è anche su Wikipedia; )
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Completamento_a_base

[sgabryx]

Avevo già preso questo link però mi è stato detto che esiste una dimostrazione più "rigorosa", allora chiedevo se voi ne aveste notizie. Io purtroppo non l'ho trovata da nessuna parte

[Pazzuzu]

Parli di questo teorema ?
Sia \(\displaystyle B = ( v_1,v_2,...,v_n) \) una base di uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$. Preso un insieme $A$ di $p$ vettori linearmente indipendenti $A=(w_1,w_2,...,w_p) \subset V$, l'unione di $A$ con un sottoinsieme di $n-p$ elementi di $B$ è una base per $V$.

Se ti può interessare conosco una dimostrazione per induzione

Vediamo il caso $p=1$ :
Partiamo dal fatto che i vettori $(w_1,v_1,v_2,...,v_n)$ sono linearmente dipendenti, dunque :
$w_1 = a_1 v_1+a_2 v_2+...+a_n v_n$ con gli scalari $a_i$ non tutti nulli (ovviamente è sensato escludere il caso $w_1=0$). Ammettiamo che sia $a_1$ non nullo ( se fosse nullo basterebbe prendere un $a_i$ non nullo), allora :
$v_1 = (1/a_1) w_1-(a_2/a_1)v_2-...-(a_n/a_1)v_n$
Questo vuol dire che $v_1$ è un elemento dello spazio generato da $w_1,v_2,...,v_n$, ma a pensarci bene anche $v_2$ è un elemento dello spazio generato da $w_1,v_2,...,v_n$ , e cosi vià. Dunque tutti gli elementi della base $B = ( v_1,v_2,...,v_n)$ appartengono allo spazio generato da $w_1,v_2,...,v_n$, quindi l'insieme dei vettori $w_1,v_2,...,v_n$ costituisce un sistema di generatori per $V$ ( questo è ovvio , no ?), resta da dimostrare che gli elementi dell'insieme $w_1,v_2,...,v_n$ sono linearmente indipendenti. Facciamo il solito test :
$\beta_1 w_1+\beta_2 v_2+...+\beta_n v_n = 0$, se tutti i $\beta_i$ sono nulli, siamo a posto! Il vettore $w_1$ lo conosciamo già , sostituiamolo:
$\beta_1 ( a_1 v_1+a_2 v_2+...+a_n v_n)+\beta_2 v_2+...+\beta_n v_n = 0$
facciamo un pò di conti e riordiniamo i termini :
$(\beta_1 a_1) v_1+ (\beta_1 a_2 +\beta_2) v_2+...+ (\beta_1a_n v_n+\beta_n) v_n = 0$
Per cui tutti i $\beta_i$ sono nulli.
Ora , per completare la dimostrazione, basta supporre la tesi vera per il caso di $p-1$ vettori e dimostrarla nel caso di $p$ vettori, scommetto che non vedi l'ora di farlo! Il caso di $p$ vettori è molto simile al caso di $p=1$.

[sgabryx]

Credo sia questa. La metterò al vaglio di chi ha già sostenuto l'esame. Grazie mille per il tempo speso e anche per il piccolo esercizio lasciatomi

[Pazzuzu]

Un vero Professore di matematica dovrebbe accettare qualunque dimostrazione rigorosa, ma per esperienza personale, molto meglio portare quella che ha fatto a lezione! Figurati!