Completamento a Base: come completo con i vettori della base canonica?
Ciao a tutti. Fra le mie dispense di algebra lineare, nella parte dedicata al concetto di Base e di completamento ad una base, trovo questo esercizio svolto che francamente mi sta mettendo molta difficoltà nel capire come mai nel completamento, dopo l'aggiunta dei vettori della base canonica di $ R^4 $ , scarta a priori i vettori $ e_1 $ ed $ e_2 $ per formarne una. Cioè:
Assegnati i vettori $ v_1 = ( ( 1 ),(2),( -3 ),(5) ) $ e $ v_2 = ( ( 1 ),(0),( 4 ),(-8) ) $ , che sono linearmente indipendenti fra loro (verificato), $ V = R^4 $ , ($ rArr dimV=4 rArr $ mancano due vettori al completamento di una base dello spazio ), non capisco perchè l'insieme $ { v_1 ,v_2 , ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) } $ non costituisce una base di V (anche se credo siano vettori linearmente indipendenti fra loro) , rispetto all'insieme $ B = { v_1 ,v_2 , ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) } $ che invece ne costituisce.
Dove sta l'inghippo? Dove sbaglio nel ragionare?
Grazie e scusate l'ignoranza..
Assegnati i vettori $ v_1 = ( ( 1 ),(2),( -3 ),(5) ) $ e $ v_2 = ( ( 1 ),(0),( 4 ),(-8) ) $ , che sono linearmente indipendenti fra loro (verificato), $ V = R^4 $ , ($ rArr dimV=4 rArr $ mancano due vettori al completamento di una base dello spazio ), non capisco perchè l'insieme $ { v_1 ,v_2 , ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) } $ non costituisce una base di V (anche se credo siano vettori linearmente indipendenti fra loro) , rispetto all'insieme $ B = { v_1 ,v_2 , ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) } $ che invece ne costituisce.
Dove sta l'inghippo? Dove sbaglio nel ragionare?
Grazie e scusate l'ignoranza..
Risposte
Ci sono infinite basi e non dipendono dal fatto che i rimanenti due vettori vengano scelti fra quelli della base canonica.
Se trovi 4 vettori l.i. sei a posto
Quindi l'unica cosa che dovevi verificare non l'hai verificata
Se trovi 4 vettori l.i. sei a posto
"fedeing.":
non capisco perchè l'insieme $ { v_1 ,v_2 , ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) } $ non costituisce una base di V (anche se credo siano vettori linearmente indipendenti fra loro)
Quindi l'unica cosa che dovevi verificare non l'hai verificata
La combinazione lineare fra i vettori $ v_1 , v_2, e_1, e_2 $ , che da come risultato il vettore nullo (a meno di errori miei fatti nel calcolo) dovrebbe essere quella con coefficienti $ lambda ,mu $ nulli.
Mi aiuteresti ancora una volta, interpretando secondo te, come mai sulle mie dispense quando vengono elencati i vettori della base canonica di $ R^4 $ , $ e_1, e_2 $ , vengono scartati a priori addirittura "sbarrandoli" senza alcuna pietà. E' pura scelta arbitraria, giusto?
Da quanto ho capito, $ ( v_1 , v_2, e_1, e_2 ) $ rappresenta una base per V, tanto quanto lo è $ ( v_1 , v_2, e_3, e_4 ) $
Grazie tantissimo
Mi aiuteresti ancora una volta, interpretando secondo te, come mai sulle mie dispense quando vengono elencati i vettori della base canonica di $ R^4 $ , $ e_1, e_2 $ , vengono scartati a priori addirittura "sbarrandoli" senza alcuna pietà. E' pura scelta arbitraria, giusto?
Da quanto ho capito, $ ( v_1 , v_2, e_1, e_2 ) $ rappresenta una base per V, tanto quanto lo è $ ( v_1 , v_2, e_3, e_4 ) $
Grazie tantissimo
"fedeing.":
E' pura scelta arbitraria, giusto?
Assolutamente si
"fedeing.":
Da quanto ho capito, $ ( v_1 , v_2, e_1, e_2 ) $ rappresenta una base per V, tanto quanto lo è $ ( v_1 , v_2, e_3, e_4 ) $
E' così.
Riducendo a gradini la matrice $ ( ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 0 , 1 ),( -3 , 4 , 0 , 0 ),( 5 , -8 , 0 , 0 ) ) $ ci sono 4 pivot diversi da zero, quindi anche usando $e_1$ ed $e_2$ si completa la base.
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