Complesso di catene e omologia
Salve a tutti, avrei una domanda rapida di algebra omologica.
Mi chiedevo se dal fatto che un complesso di catene fosse una successione esatta (lunga o corta) segue sempre l'esattezza della successione dei gruppi di omologia. (Il dubbio è sorto studiando la successione di Mayer-Vietoris e avendo dimostrato solo l'esattezza per la successione $ 0->A^0(M)->A^0(U_0)o+ A^0(U_1)->A^0(U_0nn U_1)->A^1(M)->...->0 $ )
In caso affermativo è una conseguenza evidente o è un risultato da dimostrare in maniera dettagliata? A me non sembra così ovvio.
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
Mi chiedevo se dal fatto che un complesso di catene fosse una successione esatta (lunga o corta) segue sempre l'esattezza della successione dei gruppi di omologia. (Il dubbio è sorto studiando la successione di Mayer-Vietoris e avendo dimostrato solo l'esattezza per la successione $ 0->A^0(M)->A^0(U_0)o+ A^0(U_1)->A^0(U_0nn U_1)->A^1(M)->...->0 $ )
In caso affermativo è una conseguenza evidente o è un risultato da dimostrare in maniera dettagliata? A me non sembra così ovvio.
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
Non sono sicuro di capire la domanda. Se un complesso di catene è esatto, allora è aciclico per definizione, quindi se proprio vuoi puoi pensare i suoi gruppi (moduli) di omologia connessi dalla mappa banale ottenendo il complesso di catene nullo, che è esatto.
Parlando della successione di Mayer-Vietoris, più probabilmente hai per le mani una successione esatta di complessi di catene. In tal caso, se la successione è corta (e la successione da cui parti per costruire la successione di MV è esatta corta) lo snake lemma è la risposta che cerchi. Se la tua successione esatta di complessi di catene non è corta, in generale non avrai un modo per tirar fuori una successione esatta tra i gruppi (moduli) di omologia dei complessi di catene che la compongono.
Parlando della successione di Mayer-Vietoris, più probabilmente hai per le mani una successione esatta di complessi di catene. In tal caso, se la successione è corta (e la successione da cui parti per costruire la successione di MV è esatta corta) lo snake lemma è la risposta che cerchi. Se la tua successione esatta di complessi di catene non è corta, in generale non avrai un modo per tirar fuori una successione esatta tra i gruppi (moduli) di omologia dei complessi di catene che la compongono.
Grazie mille per la risposta ma non è quello che intendevo... provo a riformulare la domanda. 
Utilizzando il lemma del serpente ho dimostrato che la successione $0→A^0(M)→A^0(U_0)⊕A^0(U_1)→A^0(U_0∩U_1)→A^1(M)→...→0$ è esatta. Da questo risultato l'esattezza della successione $0→H^0(M)→H^0(U_0)⊕H^0(U_1)→H^0(U_0∩U_1)→H^1(M)→...→0$ è una conseguenza ovvia e immediata (cosa che a me non sembra) oppure va dimostrata in maniera dettagliata?
Utilizzando il lemma del serpente ho dimostrato che la successione $0→A^0(M)→A^0(U_0)⊕A^0(U_1)→A^0(U_0∩U_1)→A^1(M)→...→0$ è esatta. Da questo risultato l'esattezza della successione $0→H^0(M)→H^0(U_0)⊕H^0(U_1)→H^0(U_0∩U_1)→H^1(M)→...→0$ è una conseguenza ovvia e immediata (cosa che a me non sembra) oppure va dimostrata in maniera dettagliata?
Cosa sono gli $A^k(-)$?
Lo spazio delle k-forme differenziali di una varietà differenziabile
Veramente stai parlando della coomologia di De Rham!, e comunque, quel passaggio è da dimostrare. 
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