Complemento ortogonale $U\bot$
Salve ragazzi,
Ho un sottospazio vettoriale $U=Span{e_2+e_3,e_1-e_3+e_4,e_1+4e_2+e_4}$
mi sono trovata che $DimU=3$ e una base è proprio quella data(ho ridotto a scala,trovato che i pivot sono sono 3=3 colonne lin.indipendenti)
Adesso mi viene chiesto di trovare una base ortonormale di U$\bot$(complmento ortogonale) come si procede?
Ho un sottospazio vettoriale $U=Span{e_2+e_3,e_1-e_3+e_4,e_1+4e_2+e_4}$
mi sono trovata che $DimU=3$ e una base è proprio quella data(ho ridotto a scala,trovato che i pivot sono sono 3=3 colonne lin.indipendenti)
Adesso mi viene chiesto di trovare una base ortonormale di U$\bot$(complmento ortogonale) come si procede?
Risposte
Rispetto a quale prodotto scalare? E soprattutto (fallo tu il conto) è definito positivo?
"newton_1372":
Rispetto a quale prodotto scalare? E soprattutto (fallo tu il conto) è definito positivo?
il prodotto scalare è quello canonico.
il mio problema non è trovare una base ortonormale,piuttosto come trovarla di un completamento ortogonale
"laura88":
Adesso mi viene chiesto di trovare una base ortonormale di U$\bot$(complmento ortogonale) come si procede?
Non so perchè ti chiedono una base ortonormale, siccome lo spazio complementare sarà generato da un solo vettore. Quindi al limite alla fine lo normalizziamo.
Comunque, quello che cerchiamo è in sostanza un vettore che sia ortogonale ai 3 della base. L'ortogonalità la vediamo con il prodotto scalare a zero. Quindi definiamo un vettore $(a,b,c,d)$ e andiamo a fare i pr. scalari e li mettiamo a zero.
$b+c=0$
$a-c+d=0$
$a+4b+d=0$
Abbiamo un sistemino.
Lo risolviamo, non ci vuole molto...
$b=0$
$a=-d$
$c=0$
Il vettore l'abbiamo trovato, ad esempio $(-e_1,0,0,e_4)$.
Non faccio da tempo questi esercizi per cui non ci metto la mano sul fuoco, ma lo svolgimento dovrebbe essere questo.
il procedimento è quello che hai detto... però non mi tornando i conti... praticamente a me il sistema dei parametri viene:
$
b+c=0
a-c+d=0
a+4b+d=0
$
E dopo i calcoli, il quarto vettore della base viene questo: $a=-d, b=c=0, (1,0,0,-1)$... però non mi torna lo stesso perchè il vettore che ho trovato io è isotropo con il prodotto scalare standard... e questo è assurdo perchè non si potrebbe fare la decomposizione in somma diretta ortogonale...
$
b+c=0
a-c+d=0
a+4b+d=0
$
E dopo i calcoli, il quarto vettore della base viene questo: $a=-d, b=c=0, (1,0,0,-1)$... però non mi torna lo stesso perchè il vettore che ho trovato io è isotropo con il prodotto scalare standard... e questo è assurdo perchè non si potrebbe fare la decomposizione in somma diretta ortogonale...
Si, ho dimenicato una lettera, ho corretto....
ma va bene lo stesso?? perchè quel vettore è isotropo e non può stare in una base ortonormale un vettore isotropo...
L'esercizio non è chiarissimo, secondo me.
Chiedono una base ortonormale del "solo" spazio ortogonale. che è un solo vettore, per cui non c'è nulla da ortogonalizzare.
Rimango dubbioso anch'io.
Chiedono una base ortonormale del "solo" spazio ortogonale. che è un solo vettore, per cui non c'è nulla da ortogonalizzare.
Rimango dubbioso anch'io.
No vabbè come l'hai risolto te, abbiamo trovato una base del complemento ortogonale (ovvero un vettore ortogonale agli altri tre), però se chiamiamo $v4$ il nostro vettore $(1,0,0-1)$, non è vero che: $U _|_ span(v4)$, perchè il prodotto scalare ristretto a $span(v4)$ è degenere, essendo $v4$ isotropo... e allora in fin dei conti, non è un complemento ortogonale...
Mi scuso con tutti per la castroneria che ho continuato a ripetere... l'esercizio va bene, e il vettore trovato $(1,0,0,-1)$ NON è isotropo!!! non so perchè, ma mi immaginavo di fare 1-1=0!! Invece è 1+1=2... errore mio!!
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