Complemento ortogonale e somma diretta.
Salve ragazzi. Supponiamo che io ho un sottospazio vettoriale W di V, e il suo complemento ortogonale; mi potete mostrare un caso per cui la somma delle rispettive dimensioni è maggiore di V? Lo chiedo perchè secondo me dovrebbero sempre coincidere, ma alcune fonti non sono dello stesso parere...
Risposte
Siamo in $R^4$. V è un piano e W una retta del piano. Il complemento ortogonale di W cos'è? E quindi che dimensioni ha?
Dunque... per la legge di Grassmann: dim(w+w⊥)=dim(w)+dim(w⊥ )-dim(w ∩ w⊥). Ora, a casa mia (w ∩ w⊥)= {0 } (vettore nullo) SEMPRE, perchè l'unico vettore ortogonale a sé stesso è proprio quello nullo. Ergo, dim(w+w⊥)=dim(w)+dim(w⊥ ), e quindi per me la somma delle dimensioni deve sempre coincidere con qulla di V.
Provo ad autorispondermi... ciò che dico io è possibile solo se nella definzione di "sottospazio ortogonale" consideriamo un prodotto scalare qualunque, e non necessariamente quello canonico... in quest'ultimo caso possiamo sempre parlare di complemento ortogonale, e allora la somma fra un sottospazio vettoriale di V e il suo c.o. ha sempre dimensione pari a quella di V.
Ciao!
È noto che se una forma bilineare simmetrica è non degenere allora vale l’uguaglianza.
Quindi si prova a prendere una forma bilineare degenere, come per esempio:
Prendiamo il sottospazio $<(2,-1)>$ e calcoliamo $W^(_|_)$
È noto anche che un vettore appartiene all’ortogonale di un sottospazio sse è ortogonale a ogni vettore della base di tale sottospazio, quindi:
Quindi $W^(_|_)=RR^2$ poiché ogni vettore di $RR^2$ è ortogonale a tale sottospazio e si verifica che $dimW+dimW^(_|_)=3>2=dimRR^2$
È noto che se una forma bilineare simmetrica è non degenere allora vale l’uguaglianza.
Quindi si prova a prendere una forma bilineare degenere, come per esempio:
$b(X,Y)=X^t[(1,2),(2,4)]Y$
Prendiamo il sottospazio $<(2,-1)>$ e calcoliamo $W^(_|_)$
È noto anche che un vettore appartiene all’ortogonale di un sottospazio sse è ortogonale a ogni vettore della base di tale sottospazio, quindi:
$[(x,y)][(1,2),(2,4)][(2),(-1)]=[(x,y)][(0),(0)]$
Quindi $W^(_|_)=RR^2$ poiché ogni vettore di $RR^2$ è ortogonale a tale sottospazio e si verifica che $dimW+dimW^(_|_)=3>2=dimRR^2$
"anto_zoolander":
Quindi si prova a prendere una forma bilineare degenere
E vabbè! Però non è un prodotto scalare!
Se facciamo così diventa come provare che 1+1=3 violando il buonsenso!
...però mi è piaciuto molto ugualmente
Il complemento ortogonale puoi definirlo per una qualsiasi forma bilineare simmetrica(in realtà anche antisimmetrica)
Questa è una forma bilineare simmetrica!
Restringersi ai soli prodotti scalari significa scavalcare capitoli di teoria
Questa è una forma bilineare simmetrica!
Restringersi ai soli prodotti scalari significa scavalcare capitoli di teoria
"anto_zoolander":
Il complemento ortogonale puoi definirlo per una qualsiasi forma bilineare simmetrica(in realtà anche antisimmetrica)
Questa è una forma bilineare simmetrica!
E lo so! Ma non soddisfa $ (v,v)=0 rArr v={0} $ e allora tutto può accadere e di più...come in 1+1=3.
"anto_zoolander":
Restringersi ai soli prodotti scalari significa scavalcare capitoli di teoria
Ok, però è pura deviazione IMHO
Ma non è mica chiesto che ogni forma bilineare lo soddisfi
"anto_zoolander":
Ma non è mica chiesto che ogni forma bilineare lo soddisfi
Per essere un qualsiasi prodotto scalare si e il dubbio di Draken riguardava questi.
A me è piaciuta molto la tua risposta...creare infiniti vettori che sono ortogonali all'intero $R^2$ oltre al vettore nullo l'ho trovata bella (giusto nel caso non si fosse capito).
Sì, ma comunque la mia auto-risposta era giusta... il prodottto scalare che cita Bokonon è quello standard, poi esistono anche quelli che sono definiti da altre forme bilineari. In ogni caso, se parliamo del prodotto scalare canonico, allora vale l'uguaglianza che ho citato in precedenza, dato che è definito da una forma bilineare non degenere. Diciamo che la definizione di sottospazio ortogonale può essere estesa a tutti i prodotti scalari, e non esiste soltanto quello standard. Direi che il caso è chiuso.
"Daken97":
il prodottto scalare che cita Bokonon è quello standard
No
@Daken
La tua auto-risposta non è del tutto corretta. Il complemento ortogonale si può definire per qualsiasi forma bilineare simmetrica o anche antisimmetrica.
Di fatto in generale si potrebbero definire l’ortogonale destro e sinistro che vengono a coincidere quando la forma gode di qualche simmetria.
In ogni caso è chiaro che se hai sotto le mani un prodotto scalare significa che ogni vettore é non isotropo e quindi puoi lo spazio si decompone sempre nella somma ortogonale di un sottospazio e il suo ortogonale
La tua auto-risposta non è del tutto corretta. Il complemento ortogonale si può definire per qualsiasi forma bilineare simmetrica o anche antisimmetrica.
Di fatto in generale si potrebbero definire l’ortogonale destro e sinistro che vengono a coincidere quando la forma gode di qualche simmetria.
In ogni caso è chiaro che se hai sotto le mani un prodotto scalare significa che ogni vettore é non isotropo e quindi puoi lo spazio si decompone sempre nella somma ortogonale di un sottospazio e il suo ortogonale
(X1.....Xn)×(Y1....Yn)=X1Y1+XnYn
Questo per me è il prodotto scalare standard, poi ne esistono pure altri, ma sono sempre definiti da una forma bilineare (non necessariamente simmetrica o antisimmetrica). Il prodotto scalare canonico è definito da una forma bilineare simmetrica, quindi in questo caso è superfluo parlare di c.o. destro e c.o. sinistro, visto che coincidono.
Questo per me è il prodotto scalare standard, poi ne esistono pure altri, ma sono sempre definiti da una forma bilineare (non necessariamente simmetrica o antisimmetrica). Il prodotto scalare canonico è definito da una forma bilineare simmetrica, quindi in questo caso è superfluo parlare di c.o. destro e c.o. sinistro, visto che coincidono.
Ti rendi conto del fatto che fai domande e poi non accetti nulla di quello che ti si dice?
1.
continui a parlare del prodotto scalare standard, ma nel tuo primo messaggio non hai fatto alcun riferimento ad esso. Hai solo parlato del complemento ortogonale che puoi definire per una QUALSIASI forma bilineare simmetrica o antisimmetrica.
Io ti ho mostrato che è possibile trovare una forma bilineare simmetrica per cui quella cosa vale.
2.
Ma chi l'ha detto? esistono tantissime forme bilineari con vettori isotropi. Per esempio se prendi una forma simmetrica $b$ dove esiste almeno un vettore $v$ isotropo(ossia $b(v,v)=0$) allora $<> cap <> ^(_|_)= <>$ infatti
se non ci credi prendi $b(X,Y)=X^t[(1,0),(0,0)]Y$ e calcola $<>cap<>^(_|_)$ con $e_2=(0,1)$
Quello che dici è vero in determinate occasioni. data $b:VtimesV->k$ forma bilineare e $WleqV$ un sottospazio vettoriale: se $Rad(b_(|WtimesW))={0}$ allora $WcapW^(_|_)={0}$
quindi se $b_(|WtimesW)$ è non degenere allora $WcapW^(_|_)={0}$, quindi:
3.
No. Semplicemente dipende tutto da questo cosa
Quindi per contronominale $forallv in V, b(v,v)ne0 => Rad(b)={0}$
se una forma è un prodotto scalare allora $b$ e $b_(|WtimesW)$ sono entrambi non generi(per ogni sottospazio non banale il secondo) e pertanto si ha sempre $dimW+dimW^(_|_)=dimV$
4.
Quello è il prodotto scalare standard $b : RR^ntimesRR^n->RR$ definito come $b(X,Y) = X^tY$ ed è chiaro che sia un prodotto scalare che gode di tutte quelle proprietà, ma non pensare che qualsiasi cosa si presenti come $x_1y_1+...+x_ny_n$ sia il prodotto scalare standard, perché potrebbe essere che spunta così perchè è stata diagonalizzata.
Per le prossime volte: spiega per bene quello che vuoi fare.
La maggior parte dei tuoi post finiscono per sembrare delle trollate
1.
"Daken97":
Salve ragazzi. Supponiamo che io ho un sottospazio vettoriale W di V, e il suo complemento ortogonale; mi potete mostrare un caso per cui la somma delle rispettive dimensioni è maggiore di V? Lo chiedo perchè secondo me dovrebbero sempre coincidere, ma alcune fonti non sono dello stesso parere...
continui a parlare del prodotto scalare standard, ma nel tuo primo messaggio non hai fatto alcun riferimento ad esso. Hai solo parlato del complemento ortogonale che puoi definire per una QUALSIASI forma bilineare simmetrica o antisimmetrica.
Io ti ho mostrato che è possibile trovare una forma bilineare simmetrica per cui quella cosa vale.
2.
"Daken97":
Dunque... per la legge di Grassmann: dim(w+w⊥)=dim(w)+dim(w⊥ )-dim(w ∩ w⊥). Ora, a casa mia (w ∩ w⊥)= {0 } (vettore nullo) SEMPRE, perchè l'unico vettore ortogonale a sé stesso è proprio quello nullo.
Ma chi l'ha detto? esistono tantissime forme bilineari con vettori isotropi. Per esempio se prendi una forma simmetrica $b$ dove esiste almeno un vettore $v$ isotropo(ossia $b(v,v)=0$) allora $<
$b(v,v)=0 => v in <>^(_|_) => <> subset <>^(_|_) => <> cap <> ^(_|_)= <>$
se non ci credi prendi $b(X,Y)=X^t[(1,0),(0,0)]Y$ e calcola $<
Quello che dici è vero in determinate occasioni. data $b:VtimesV->k$ forma bilineare e $WleqV$ un sottospazio vettoriale: se $Rad(b_(|WtimesW))={0}$ allora $WcapW^(_|_)={0}$
quindi se $b_(|WtimesW)$ è non degenere allora $WcapW^(_|_)={0}$, quindi:
$dim(W+W^(_|_))=dimW+dimW^(_|_)geqV => WoplusW^(_|_)=V $
3.
"Daken97":
ciò che dico io è possibile solo se nella definzione di "sottospazio ortogonale" consideriamo un prodotto scalare qualunque, e non necessariamente quello canonico.
No. Semplicemente dipende tutto da questo cosa
$Rad(b)ne{0} => exists v in V: b(v,v)=0$
Quindi per contronominale $forallv in V, b(v,v)ne0 => Rad(b)={0}$
se una forma è un prodotto scalare allora $b$ e $b_(|WtimesW)$ sono entrambi non generi(per ogni sottospazio non banale il secondo) e pertanto si ha sempre $dimW+dimW^(_|_)=dimV$
4.
"Daken97":
(X1.....Xn)×(Y1....Yn)=X1Y1+XnYn
Questo per me è il prodotto scalare standard, poi ne esistono pure altri, ma sono sempre definiti da una forma bilineare
Quello è il prodotto scalare standard $b : RR^ntimesRR^n->RR$ definito come $b(X,Y) = X^tY$ ed è chiaro che sia un prodotto scalare che gode di tutte quelle proprietà, ma non pensare che qualsiasi cosa si presenti come $x_1y_1+...+x_ny_n$ sia il prodotto scalare standard, perché potrebbe essere che spunta così perchè è stata diagonalizzata.
Per le prossime volte: spiega per bene quello che vuoi fare.
La maggior parte dei tuoi post finiscono per sembrare delle trollate
Forse non era chiara una cosa (apparentemente facile da capire), ma ora la specifico: al momento della domanda ignoravo l'esistenza di prodotti scalari di natura diversa, e non avevo capito che la definizione di sottospazio ortogonale può essere estesa ad ogni forma bilineare. La mia auto-risposta serviva per dire che avevo trovato da solo la soluzione alla questione che io stesso avevo proposto, pensavo che fosse evidente. Ergo, tutto ciò che ho scritto prima di quel post è da prendere con le pinze.
[ot]
Non hai tutti i torti, anche perché il buon Anto mi ha tolto molte volte le castagne dal fuoco, e probabilmente a breve perderà pure la pazienza. Ciò che voglio dire è che in questo caso la questione era risolta da un giorno, visto che io stesso avevo trovato la risposta ad un problema che mi ero posto. Sbagliavo? Diciamo che ignoravo l'esistenza di alcune definizioni, quindi per certi versi sì. Riguardo al moderatore di questa sezione, io non ho mai mancato di rispetto a nessuno, men che meno a lui, che anzi reputo un utente preparatissimo, tant'è che spesso invoco i suoi interventi. Anche in questo caso ha fatto benissimo a dire la sua in maniera precisa e dettagliata, ci mancherebbe. Detto questo, lungi da me autocelebrarmi, anche perché sono state più le volte in cui gli altri utenti hanno risolto le questioni che ho posto, e glie ne ho dato atto.[/ot]
"arnett":
@Daken97: per te la matematica è evidentemente una questione (interiormente) guerresca. Fai le domande con il tono di chi crede di venir preso in giro (dai libri? dai professori?), sia che ti sia dia ragione che ti sia dia torto a te non va bene e finisci per concludere umilmente che avevi ragione tu (su cosa poi?). Non credo che questo sia lo spirito di un forum. Intanto ad @anto andrebbe almeno un grazie se non altro per la precisione e la lunghezza dei suoi post; se non da parte tua almeno da parte mia, che non conoscevo l'esistenza di complementi destri e sinistri e grazie a lui ora so che esistono.
Non hai tutti i torti, anche perché il buon Anto mi ha tolto molte volte le castagne dal fuoco, e probabilmente a breve perderà pure la pazienza. Ciò che voglio dire è che in questo caso la questione era risolta da un giorno, visto che io stesso avevo trovato la risposta ad un problema che mi ero posto. Sbagliavo? Diciamo che ignoravo l'esistenza di alcune definizioni, quindi per certi versi sì. Riguardo al moderatore di questa sezione, io non ho mai mancato di rispetto a nessuno, men che meno a lui, che anzi reputo un utente preparatissimo, tant'è che spesso invoco i suoi interventi. Anche in questo caso ha fatto benissimo a dire la sua in maniera precisa e dettagliata, ci mancherebbe. Detto questo, lungi da me autocelebrarmi, anche perché sono state più le volte in cui gli altri utenti hanno risolto le questioni che ho posto, e glie ne ho dato atto.[/ot]
Nonostante concordi con Arnett sull'atteggiamento, voglio spezzare una lancia a favore di Daken97
Senza la parte in rosso, sarebbe stata una conclusione fondamentalmente corretta, specie per il livello delle sue conoscenze.
Ma Daken97 (per qualche ragione che ritengo strettamente correlata alla sua vis polemica) spinge Anto a scrivere (quindi solo per questo siano benedetti entrambi!) anche se sa a cosa andrà incontro
"Daken97":
Provo ad autorispondermi... ciò che dico io è possibile solo se nella definzione di "sottospazio ortogonale" consideriamo un prodotto scalare qualunque, e non necessariamente quello canonico... in quest'ultimo caso possiamo sempre parlare di complemento ortogonale, e allora la somma fra un sottospazio vettoriale di V e il suo c.o. ha sempre dimensione pari a quella di V.
Senza la parte in rosso, sarebbe stata una conclusione fondamentalmente corretta, specie per il livello delle sue conoscenze.
Ma Daken97 (per qualche ragione che ritengo strettamente correlata alla sua vis polemica) spinge Anto a scrivere (quindi solo per questo siano benedetti entrambi!) anche se sa a cosa andrà incontro
"Bokonon":
Nonostante concordi con Arnett sull'atteggiamento, voglio spezzare una lancia a favore di Daken97
[quote="Daken97"]Provo ad autorispondermi... ciò che dico io è possibile solo se nella definzione di "sottospazio ortogonale" consideriamo un prodotto scalare qualunque, e non necessariamente quello canonico... in quest'ultimo caso possiamo sempre parlare di complemento ortogonale, e allora la somma fra un sottospazio vettoriale di V e il suo c.o. ha sempre dimensione pari a quella di V.
Senza la parte in rosso, sarebbe stata una conclusione fondamentalmente corretta, specie per il livello delle sue conoscenze.
Ma Daken97 (per qualche ragione che ritengo strettamente correlata alla sua vis polemica) spinge Anto a scrivere (quindi solo per questo siano benedetti entrambi!) anche se sa a cosa andrà incontro
[/quote]Ok, faccio auto-critica. Sicuramente mi sono espresso male, ma ciò che volevo dire è che se prendiamo in esame il prodotto scalare standard, allora vale l'uguaglianza che ho citato in precedenza, semplicemente perchè esso è rappresentato da una forma bilineare non degenere. Inutile aggiungere che quell'uguaglianza è valida per ogni complemento ortogonale riferito ad una forma bilineare non degenere. Onestamente mi sembra un ragionamento lineare, poi è chiaro che il dubbio iniziale mi è sorto perchè avevo letto con superficialità la definizione di sottospazio ortogonale.
Per il resto, sono felice che abbia spezzato questa lancia a mio favore, ma la considerazione "specie per il livello delle sue conoscenze" te la potevi risparmiare, anche perchè pure a te (come me e tutti, è normale) è capitato di commettere qualche errore.
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