Complemento ortogonale e base di autovettori

[Liquid Science]

Sia $V$ uno spazio vettoriale euclideo reale dotato del prodotto scalare standard, e sia $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\}$ una sua base ortonormale. Si consideri poi il sottospazio $S$ di $V$ generato dal vettore $b_1-b_2$. Determinare una base ortonormale del complemento ortogonale $S^{\perp}$. Sicuramente ha dimensione 2 questo complemento ortogonale. Inoltre so per certo che un vettore ortonormale della sua base è $b_3$. Mi manca di trovarne un altro che sia un versore e ortogonale a $b_3$ e non riesco a venirne a capo.

C'è una seconda domanda. Sia $F:V\mapsto V$ un endomorfismo simmetrico tale che $ker(F)=S$ e $F^2=2F$. Determinare una base ortonormale di $V$ costituita da autovettori di $F$. Prima di tutto gli autovalori sono le soluzioni di $\lambda^2-2\lambda=0$ e quindi $\lambda=0,2$ (già qui non ho capito perché si possa fare questa operazione e se me lo potete spiegare sarebbe bello). Poi non riesco ad andare avanti perché lavoro con vettori generici. Cosa faccio per risolvere questi due esercizi?

[anto_zoolander]

Ciao!

Provo a darti un indizio: usa una analogia tra le proprietà del prodotto scalare e la seguente equazione numerica

$(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)$

il secondo esercizio mi piace; vediamo se riesco ad aiutarti

per ipotesi $F^2(v)=2F(v)$ e inoltre sai che $F$ è un endomorfismo simmetrico e quindi diagonalizzabile pertanto sai che esistono almeno un vettore $une0$ e un autovalore $lambda$ per cui $F(u)=lambdau$

quindi

$F^2(u)=2F(u)=>F(F(u))=2lambdau => F(lambdau)=2lambdau=> lambda^2u=2lambdau$

da cui ottieni $(lambda^2-2lambda)u=0$ ma essendo $une0$ deve essere $lambda^2-2lambda=0$

quindi tutti e soli gli autovalori di $F$ sono quelli ottenuti da questa equazione
Lo sono perché date le ipotesi gli autovalori devono soddisfare questa equazione inoltre essendo diagonalizzabile gli autovalori sono esattamente questi.

essendo $lambda_1=0$ e $lambda_2=2$ avrai due autospazi; uno di dimensione $1$ e un altro di dimensione $2$ e nota che questo segue dal fatto che l'endomorfismo è diagonalizzabile quindi la somma delle dimensioni degli autospazi deve essere esattamente $3$

l'autospazio $V_0$ con autovalore $lambda_1=0$ coincide con il nucleo che per ipotesi è generato da $b_1-b_2$

per concludere bisogna ricordarsi che per un endomorfismo simmetrico due autovettori relativi a due autovalori differenti sono necessariamente ortogonali, preso quindi l'autospazio $V_2$ esso deve contenere solo autovettori ortogonali a $V_0=Ker(F)=S=<>$ da cui $V_2=V_0^(_|_)$ ossia lo spazio che troverai nel primo esercizio.