Complemento Ortogonale Della Somma Di Spazi Vettoriali
Salve a tutti, su Wikipedia (Sottospazi Ortogonali) ho trovato la seguente relazione:
Dato uno spazio vettoriale $ V $, per ogni coppia di sottospazi $ U $ e $ W $ di $ V $ si ha $ (U+W)^_|_ =U^_|_ nn W^_|_ $
non viene citata alcuna fonte e non sono riuscito a trovarla sui testi che posseggo.
Siccome è utile per risolvere un mio problema, qualcuno sa indicarmi, per favore, dove trovarla o dirmi se è valida nel caso che $ V $ è uno spazio di Hilbert infinito dimensionale.
Seconda e ultima domanda:
sia $ V $ uno spazio di Hilbert infinito dimensionale e $ U $ e $ W $ due suoi sottospazi
la relazione $ (Unn W)^_|_ =U^_|_ +W^_|_ $ è vera?
Vi ringrazio, qualsiasi suggerimento sarà sempre ben accetto.
Dato uno spazio vettoriale $ V $, per ogni coppia di sottospazi $ U $ e $ W $ di $ V $ si ha $ (U+W)^_|_ =U^_|_ nn W^_|_ $
non viene citata alcuna fonte e non sono riuscito a trovarla sui testi che posseggo.
Siccome è utile per risolvere un mio problema, qualcuno sa indicarmi, per favore, dove trovarla o dirmi se è valida nel caso che $ V $ è uno spazio di Hilbert infinito dimensionale.
Seconda e ultima domanda:
sia $ V $ uno spazio di Hilbert infinito dimensionale e $ U $ e $ W $ due suoi sottospazi
la relazione $ (Unn W)^_|_ =U^_|_ +W^_|_ $ è vera?
Vi ringrazio, qualsiasi suggerimento sarà sempre ben accetto.
Risposte
Sposto in Geometria
ok, grazie
L'identità \((U+W)^\perp = U^\perp \cap V^\perp\) mi sembra elementare. Per quanto riguarda l'altra, in spazi di dimensione infinita dovrebbe valere soltanto l'inclusione \[(U \cap V)^\perp \supseteq U^\perp + V^\perp\]Un controesempio si ottiene con \(U\) sottospazio denso (non chiuso) e con \(V = (v)\), dove \(0 \neq v \notin U\).
Dimmi se servono chiarimenti.
Dimmi se servono chiarimenti.
Grazie per la risposta, per quanto riguarda il controesempio che hai portato, con $ V = (v) $ intendi un insieme composto da un solo vettore $ v $ ? Se è così non è possibile perché io nelle ipotesi ho posto che entrambi sono spazi vettoriali, altrimenti se non è così se mi puoi spiegare meglio il controesempio.grazie
Con \((v)\) intendo il sottospazio vettoriale (di dimensione \(1\)) generato da \(v\).
ok, ho capito, grazie.
Scusami se ne approfitto ti pongo una domanda
ci sono delle ulteriori ipotesi per le quali si verifica l'uguaglianza. grazie.
Scusami se ne approfitto ti pongo una domanda
ci sono delle ulteriori ipotesi per le quali si verifica l'uguaglianza. grazie.
Se \(V\) è uno spazio di Hilbert, l'uguaglianza è verificata (per ogni coppia di sottospazi \(U, V\)) solo se \(V\) ha dimensione finita. Infatti, in dimensione finita, abbiamo \((W^\perp)^\perp = W\) per ogni sottospazio \(W \subseteq V\): applicando questa proprietà alla prima uguaglianza si ottiene la seconda.
scusami se ne approfitto, il fatto che abbia dimensione finita è una condizione necessaria e sufficiente per cui ogni spazio infinito dimensionale non può sussistere l'uguaglianza?
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