Complemento ortogonale del complemento ortogonale
Ho bisogno di sapere come procedo in questa dimostrazione
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo K, e sia W un suo sottospazio. Allora, preso < ; > prodotto scalare non degenere su V:
\(\displaystyle ( W ^ \bot ) ^ \bot = W \)
La mia dimostrazione:
Sia \(\displaystyle v \in W ^ \bot \) allora \(\displaystyle \forall w \in W < v ; w > = 0 \) se adesso prendiamo \(\displaystyle v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \) si ha che \(\displaystyle < v ; v_2 > = 0 \) allora possiamo scrivere:
\(\displaystyle < v ; w > + < v ; v_2 > = < 2v ; v_2 + w > = 2 < v ; w + v_2 > = < v ; w + v_2 > = 0 \)
Allora, poiché i vettori scelti sono assolutamente arbitrari, possiamo generalizzare dicendo che:
\(\displaystyle < v ; w + v_2 > = 0 \forall w \in W , \forall v \in W ^ \bot , \forall v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \)
Allora segue che \(\displaystyle w + v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot , \forall w \in W \forall v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \). Ma \(\displaystyle ( W ^ \bot ) ^ \bot \) è un sottospazio vettoriale di V, allora \(\displaystyle w + v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot , \forall w \in W \forall v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \) se e solo se \(\displaystyle w \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \). Il che implica che
\(\displaystyle W \subseteqq ( W ^ \bot ) ^ \bot \)
Qui mi fermo, non riesco a provare l'altra inclusione. Come faccio?
Io ho pensato di poter dire una cosa del genere: poiché se < ; > è non degenere si ha che, dato un sottospazio W di V:
\(\displaystyle dim V = dim W + dim W ^ \bot \)
Allora, poiché \(\displaystyle ( W ^ \bot ) \) è un sottospazio di V, si ha che:
\(\displaystyle dim V = dim W ^ \bot + dim ( W ^ \bot ) ^ \bot \)
ma allora \(\displaystyle dim W ^ \bot + dim ( W ^ \bot ) ^ \bot = dim W + dim W ^ \bot \) il che implica che \(\displaystyle dim ( W ^ \bot ) ^ \bot = dim W \) ma poiché \(\displaystyle W \subseteqq ( W ^ \bot ) ^ \bot \) allora W è un sottospazio di \(\displaystyle ( W ^ \bot ) ^ \bot \) \) ed avendo la stessa dimensione coincide con esso.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo K, e sia W un suo sottospazio. Allora, preso < ; > prodotto scalare non degenere su V:
\(\displaystyle ( W ^ \bot ) ^ \bot = W \)
La mia dimostrazione:
Sia \(\displaystyle v \in W ^ \bot \) allora \(\displaystyle \forall w \in W < v ; w > = 0 \) se adesso prendiamo \(\displaystyle v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \) si ha che \(\displaystyle < v ; v_2 > = 0 \) allora possiamo scrivere:
\(\displaystyle < v ; w > + < v ; v_2 > = < 2v ; v_2 + w > = 2 < v ; w + v_2 > = < v ; w + v_2 > = 0 \)
Allora, poiché i vettori scelti sono assolutamente arbitrari, possiamo generalizzare dicendo che:
\(\displaystyle < v ; w + v_2 > = 0 \forall w \in W , \forall v \in W ^ \bot , \forall v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \)
Allora segue che \(\displaystyle w + v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot , \forall w \in W \forall v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \). Ma \(\displaystyle ( W ^ \bot ) ^ \bot \) è un sottospazio vettoriale di V, allora \(\displaystyle w + v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot , \forall w \in W \forall v_2 \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \) se e solo se \(\displaystyle w \in ( W ^ \bot ) ^ \bot \). Il che implica che
\(\displaystyle W \subseteqq ( W ^ \bot ) ^ \bot \)
Qui mi fermo, non riesco a provare l'altra inclusione. Come faccio?
Io ho pensato di poter dire una cosa del genere: poiché se < ; > è non degenere si ha che, dato un sottospazio W di V:
\(\displaystyle dim V = dim W + dim W ^ \bot \)
Allora, poiché \(\displaystyle ( W ^ \bot ) \) è un sottospazio di V, si ha che:
\(\displaystyle dim V = dim W ^ \bot + dim ( W ^ \bot ) ^ \bot \)
ma allora \(\displaystyle dim W ^ \bot + dim ( W ^ \bot ) ^ \bot = dim W + dim W ^ \bot \) il che implica che \(\displaystyle dim ( W ^ \bot ) ^ \bot = dim W \) ma poiché \(\displaystyle W \subseteqq ( W ^ \bot ) ^ \bot \) allora W è un sottospazio di \(\displaystyle ( W ^ \bot ) ^ \bot \) \) ed avendo la stessa dimensione coincide con esso.
Risposte
"jJjjJ":
Ho bisogno di sapere come procedo in questa dimostrazione
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo K, e sia W un suo sottospazio. Allora, preso < ; > prodotto scalare non degenere su V:
\( \displaystyle ( W ^ \bot ) ^ \bot = W \)
La mia dimostrazione:
Sia \( \displaystyle v \in W ^ \bot \) allora \( \displaystyle \forall w \in W < v ; w > = 0 \)
Questo è sufficiente per concludere che \(\displaystyle{W \subseteq ( W ^ \bot ) ^ \bot}\). Ciò che hai scritto dopo è inutile (e sbagliato).
"jJjjJ":
Io ho pensato di poter dire una cosa del genere: poiché se < ; > è non degenere si ha che, dato un sottospazio W di V:
\( \displaystyle dim V = dim W + dim W ^ \bot \)
Allora, poiché \( \displaystyle ( W ^ \bot ) \) è un sottospazio di V, si ha che:
\( \displaystyle dim V = dim W ^ \bot + dim ( W ^ \bot ) ^ \bot \)
ma allora \( \displaystyle dim W ^ \bot + dim ( W ^ \bot ) ^ \bot = dim W + dim W ^ \bot \) il che implica che \( \displaystyle dim ( W ^ \bot ) ^ \bot = dim W \) ma poiché \( \displaystyle W \subseteqq ( W ^ \bot ) ^ \bot \) allora W è un sottospazio di \( \displaystyle ( W ^ \bot ) ^ \bot \) \) ed avendo la stessa dimensione coincide con esso.
Qui fila tutto liscio. Osserva che nella dimostrazione usi il fatto che $V$ sia di dimensione finita. Se così non fosse $W^\bot$ potrebbe avere dimensione infinita, e quindi dall'equazione
\[
dim W ^ \bot + dim ( W ^ \bot ) ^ \bot = dim W + dim W ^ \bot,
\]
ovvero
\[
+\infty + dim ( W ^ \bot ) ^ \bot = dim W + \infty,
\]
non potresti ricavare \( \displaystyle dim ( W ^ \bot ) ^ \bot = dim W \).
E' vero non avevo notato che bastava così poco per quell'inclusione 
Tuttavia non capisco, anche se è inutile, dove è sbagliato il ragionamento della prima parte?
Tuttavia non capisco, anche se è inutile, dove è sbagliato il ragionamento della prima parte?
"jJjjJ":
Tuttavia non capisco, anche se è inutile, dove è sbagliato il ragionamento della prima parte?
L'errore sta qui:
"jJjjJ":
[...]
\( \displaystyle < v ; w > + < v ; v_2 > = < 2v ; v_2 + w > = 2 < v ; w + v_2 > = < v ; w + v_2 > = 0 \)
In realtà è \( \displaystyle < v ; w > + < v ; v_2 > = < v ; v_2 + w > = 0 \)
Poi per quello che viene dopo non saprei dato che non l'ho letto (appunto perché non era necessario).
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