Complemento ortogonale

[Vegastar]

Ciao a tutti! Ho bisogno di aiuto. Non capisco come si fa ad ottenere il complemento ortogonale di un sottospazio. Allora, so che il complemento ortogonale è l'insieme di tutti i vettori ortogonali al sottospazio dato. Quindi, preso un vettore x qualsiasi e pongo la condizione che sia ortogonale a ogni vettore del sottospazio dato. Faccio un sistema in cui pongo uguale a 0 il prodotto scalare di x con ogni vettore della base del sottospazio. Quello che trovo però non è ancora il complemento ortogonale, giusto? Cosa devo fare? Sugli esempi non è chiaro...

Ps: un'altra cosa: il libro dice che la somma di un vettore con il suo complemento ortogonale è sempre diretta. Ma allora perché tutti gli esercizi mi chiedono se la somma è diretta e in caso negativo di trovare l'intersezione? Come mai?

[Vegastar]

Per favore, proprio nessuno mi può aiutare?

[bestiedda2]

i vettori che soddisfano quel sistema sono tutti e soli i vettori ortogonali a quelli del tuo sottospazio, quindi si, hai trovato il complemento ortogonale. Dato che la dimensione del complemento ortogonale è uguale alla differenza fra la dimensione dello spazio vettoriale e quella del tuo sottospazio, ti basta trovare tot vettori linearmente indipendenti che soddisfano quel sistema. Essi formano una base del complemento ortogonale. Ad esempio: in R3 dotato del prod scalare standard vogliamo trovare il complemento ortogonale del sottospazio L((1,1,0),(1,0,1)) (le componenti devono essere rispetto ad una base ortonormale). Sia v=(v1,v2,v3). Allora deve essere v1+v2=0 e v1+v3=0, da cui v2=-v1 v3=-v1. La dimensione è 1, quindi il tuo complemento è L(1,-1,-1)

[Vegastar]

Però, pur facendo così, il libro mi dà soluzioni diverse! Inoltre in un esercizio svolto dice che dopo aver trovato tutti i vettori ortogonali, la base del complemento ortogonale è il nullspace della matrice associata... A parte che nel libro non spiega mai cos'è il nullspace, cosa significa?

[legendre]

ne abbiamo parlato qua:http://www.matematicamente.it/forum/basi-ortonormali-per-w-e-w-t58415.html#415349

[Steven11]

[mod="Steven"]Ricordo a Vegastar che non sono ammessi "up" prima di 24 ore dall'ultimo post.[/mod]

[Vegastar]

Ops, chiedo scusa! L'avevo dimenticato!

[97.russo]

In una struttura euclidea standard il sottospazio dei punti fissi di f può essere un sottospazio nullo?
in questo caso il complemento ortogonale è l'immagine di f?