Complemento ortogonale
Data la matrice della forma bilineare
$((5,2,3),(2,k,k(k-2)),(3,3,0))$
dove k è un parametro reale.
1. Determinare i valori di k per cui la forma bilineare è un prodotto scalare.
Si vede facilmente che a forma bilineare è un prodotto scalare per k=-1 e per k=3 poichè k(k-2)=3.
2. Posto k=-1 e indicato con v=(1, 0, -1) determinare il complemento ortogonale di rispetto alla forma bilineare.
In questo punto ho pensato di procedere scrivendo l'equazione della forma bilineare che risulta
F= 5$x_1^2$+2$x_1$$x_2$+3$x_1$$x_3$+2$X_2$$x_1$-$x_2^2$+3$x_2$$x_3$+3$x_1$$x_3$+$x_3$$x_2$
Adesso calcolo il complemento ortogonale:
$[[x y z]]$ $((5,2,3),(2,-1,3),(3,3,0))$ $[[1],[0],[-1]]$
l'equazione risulta : 2x - y - 3z = 0;
quato vettore che chiamo $v^(perp)$=<(1 ; 2 ; 0),(1 ; 3 ; 1)> ed ha dimensione 2.
3. per ciascuno dei valori di k determinare la dimensione del radicale della forma bilineare e una sua base.
Ma per questo punto è necessario che imposto un sistema del tipo Fx=0??
$((5,2,3),(2,k,k(k-2)),(3,3,0))$
dove k è un parametro reale.
1. Determinare i valori di k per cui la forma bilineare è un prodotto scalare.
Si vede facilmente che a forma bilineare è un prodotto scalare per k=-1 e per k=3 poichè k(k-2)=3.
2. Posto k=-1 e indicato con v=(1, 0, -1) determinare il complemento ortogonale di
In questo punto ho pensato di procedere scrivendo l'equazione della forma bilineare che risulta
F= 5$x_1^2$+2$x_1$$x_2$+3$x_1$$x_3$+2$X_2$$x_1$-$x_2^2$+3$x_2$$x_3$+3$x_1$$x_3$+$x_3$$x_2$
Adesso calcolo il complemento ortogonale:
$[[x y z]]$ $((5,2,3),(2,-1,3),(3,3,0))$ $[[1],[0],[-1]]$
l'equazione risulta : 2x - y - 3z = 0;
quato vettore che chiamo $v^(perp)$=<(1 ; 2 ; 0),(1 ; 3 ; 1)> ed ha dimensione 2.
3. per ciascuno dei valori di k determinare la dimensione del radicale della forma bilineare e una sua base.
Ma per questo punto è necessario che imposto un sistema del tipo Fx=0??
Risposte
perchè dici:
non mi è chiara la motivazione
"glorietta":
Si vede facilmente che a forma bilineare è un prodotto scalare per k=-1 e per k=3 poichè k(k-2)=3.
non mi è chiara la motivazione
Quella condizione rende la matrice data simmetrica, che quindi rappresenta una forma bilineare simmetrica, cioè un prodotto scalare.
Ciao alex...Io ho trovato questa definizione ed è per quello che ho scritto che per quei valori di k la forma bilineare è un prodotto scalare.
"Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare. Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo R dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con φ(v,v) > 0 per ogni v diverso da zero e φ(0,0) = 0."
Inoltre, ho provato anche a ragionare sulla definizione di prodotto scalare euclideo. Un prodotto scalare euclideo è definito tale quando la matrice rispetto alla base canonica della forma bilineare è simmetrica e definita positiva.
Quindi significa che la forma bilineare simmetrica è un prodotto scalare.
Spero di essere stata abbastanza chiara.
Gloria Viviani
"Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare. Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo R dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con φ(v,v) > 0 per ogni v diverso da zero e φ(0,0) = 0."
Inoltre, ho provato anche a ragionare sulla definizione di prodotto scalare euclideo. Un prodotto scalare euclideo è definito tale quando la matrice rispetto alla base canonica della forma bilineare è simmetrica e definita positiva.
Quindi significa che la forma bilineare simmetrica è un prodotto scalare.
Spero di essere stata abbastanza chiara.
Gloria Viviani
Si si scusa, è stata una mia sbadataggine.
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