Complemento ortogonale
Salve, ho appena studiato il complemento ortogonale e andando a fare degli esercizi su questo determinato argomento non riesco a trovare una via d'uscita. Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi come si svolge questo esercizio?
Fissato in R3 il prodotto scalare standard, determinare la dimensione, una base e una rappresentazione cartesiana per i complementi ortogonali ⊥U e ⊥U′, ove U = L((3, 1, 2),(5, 0, −1)) e U′ = L((1, 2, 3)).
Fissato in R3 il prodotto scalare standard, determinare la dimensione, una base e una rappresentazione cartesiana per i complementi ortogonali ⊥U e ⊥U′, ove U = L((3, 1, 2),(5, 0, −1)) e U′ = L((1, 2, 3)).
Risposte
Devi sostanzialmente trovare un vettore ortogonale a $[3,1,2],[5,0,-1]$. Devi impostare un sistemino utilizzando la definizione di prodotto scalare
Non capisco sinceramente come impostare il sistemino.. potresti farmi l'impostazione? i calcoli poi mi arrangio da solo
$langle((a),(b),(c));((5),(0),(-1))rangle=0$, $langle((a),(b),(c));((3),(1),(2))rangle=0$
okay, scusami un attimo.. ma facendo questi calcoli cosa determino di preciso? non capisco che cosa mi porta a determinare per quanto riguarda quello che chiede il problema
Stiamo cercando, nel primo caso, un vettore tale che sia ortogonale agli altri due. Imponi che i due prodotti scalari siano nulli...
Si, però dopo aver trovato questo vettore ortogonale agli altri due, come faccio a determinare la dimensione, una base e una rappresentazione cartesiana per i complementi ortogonali?
Allora, una volta che trovi il vettore, hai trovato il complemento ortogonale. Nel primo caso,ne trovi solo uno, pertanto la base è data da quel vettore, la dimensione è $1$ e la rappresentazione cartesiana si trova al solito modo.
Non avendo mai fatto questa tipologia di esercizi, ho provato a farlo secondo le tue indicazioni! Potresti verificare se quello che ti esporrò successivamente è giusto? mi faresti un grosso piacere!
Allora, per prima cosa ho fatto i due prodotti scalari standard e ho messo a sistema le due equazioni ottenute.
Infatti ho:
5a-c=0
3a+b+2c=0
Siccome siamo in R^3 e la dimensione del sottospazio è 2, la dimensione del complemento ortogonale è n-h quindi 1. (perciò dobbiamo ottenere un solo vettore). Provando a sostituire nel sistema dei valori che verificano l'equazioni, riesco ad avere un vettore con i valori L(1,-13,5) che andati a sostituire nel sistema verificano entrambe l'equazioni.
Infine per ottenere la rappresentazione cartesiana basta fare il prodotto scalare standard tra <(a,b,c),(1,-13,5)>=0
Facendo questo prodotto scalare ottengo solamente un'equazione: a-13b+5c=0 che è esattamente la mia rappresentazione cartesiana.
Allora, per prima cosa ho fatto i due prodotti scalari standard e ho messo a sistema le due equazioni ottenute.
Infatti ho:
5a-c=0
3a+b+2c=0
Siccome siamo in R^3 e la dimensione del sottospazio è 2, la dimensione del complemento ortogonale è n-h quindi 1. (perciò dobbiamo ottenere un solo vettore). Provando a sostituire nel sistema dei valori che verificano l'equazioni, riesco ad avere un vettore con i valori L(1,-13,5) che andati a sostituire nel sistema verificano entrambe l'equazioni.
Infine per ottenere la rappresentazione cartesiana basta fare il prodotto scalare standard tra <(a,b,c),(1,-13,5)>=0
Facendo questo prodotto scalare ottengo solamente un'equazione: a-13b+5c=0 che è esattamente la mia rappresentazione cartesiana.
Certo, come vedi trovi le componenti di un vettore ortogonale agli altri due. E' proprio la definizione di complemento ortogonale.
Grazie mille per il prezioso aiuto, ora ho capito tutto!
di nulla
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