Complementi ortogonali in uno spazio di Hilbert
Sia $\mathcal{H}$ uno spazio di Hilbert e sia $F$ un suo sottoinsieme $F \subseteq \mathcal{H}$, allora $E$ il complemento ortogonale di $F$ costituisce un sottospazio vettoriale chiuso. Chiuso nel senso di $E$ topologicamente chiuso. Nella dimostrazione della chiusura si fa uso del fatto che il prodotto scalare è una funzione continua che trasforma $E$ nell'elemento nullo del campo di definizione $mathcal{K}$. Infatti con $y \in \mathcal{H}$ $< y, x > = 0\ \forall x \in F$, ed essendo $\{0\} \in mathcal{K}$ chiuso, dalle proprietà delle funzioni continue $E$, retroimmagine di un chiuso è chiuso. La domanda è: come mai l'insieme $\{0\}$ è chiuso?
Sia $\mathcal{H}$ uno spazio di Hilbert e sia $F$ un suo sottoinsieme $F \subseteq \mathcal{H}$, allora $C$ il complemento ortogonale del complemento ortogonale $E$ di $F$, è uguale alla chiusura della varietà lineare generata da $F$, $C=\overline{\mathcal{L}(F)}$ . $\mathcal{L}(F)$ nel senso di insieme delle combinazioni lineari di elementi di $F$. Nella dimostrazione si fa uso del fatto che $F \subseteq C$. Come mai? Qual è la definizione corretta di $C$?
$E=\{y \in \mathcal{H}: =0 \forall x \in F}$
$1.$ $C=\{y \in F: =0 \forall x \in E}$?
$2.$ $C=\{y \in \mathcal{H}: =0 \forall x \in E}$?
Sia $\mathcal{H}$ uno spazio di Hilbert e sia $F$ un suo sottoinsieme $F \subseteq \mathcal{H}$, allora $C$ il complemento ortogonale del complemento ortogonale $E$ di $F$, è uguale alla chiusura della varietà lineare generata da $F$, $C=\overline{\mathcal{L}(F)}$ . $\mathcal{L}(F)$ nel senso di insieme delle combinazioni lineari di elementi di $F$. Nella dimostrazione si fa uso del fatto che $F \subseteq C$. Come mai? Qual è la definizione corretta di $C$?
$E=\{y \in \mathcal{H}:
$1.$ $C=\{y \in F:
$2.$ $C=\{y \in \mathcal{H}:
Risposte
Domanda 1: \(\{0\}\) è inteso come un sottoinsieme della retta reale (o del piano complesso). Che sia chiuso è assolutamente ovvio, se non ti sovviene è solo perché ti sei confuso. Pensaci un secondo a mente fresca e ci arrivi immediatamente, è roba da Analisi 0.5 o da Topologia 0.01.
Domanda 2: A questo punto della dimostrazione \(C\) è l'insieme dei vettori di \(\mathcal{H}\) che possono essere approssimati arbitrariamente bene con combinazioni lineari finite di elementi di \(F\), o equivalentemente al più piccolo sottospazio vettoriale chiuso di \(\mathcal{H}\) contenente \(F\).
Domanda 2: A questo punto della dimostrazione \(C\) è l'insieme dei vettori di \(\mathcal{H}\) che possono essere approssimati arbitrariamente bene con combinazioni lineari finite di elementi di \(F\), o equivalentemente al più piccolo sottospazio vettoriale chiuso di \(\mathcal{H}\) contenente \(F\).
"dissonance":Insomma se lo esprimo come intervallo di $R$ allora non può essere altrimenti che ${\0}\ = [0]$ ?
Domanda 1: \(\{0\}\) è inteso come un sottoinsieme della retta reale (o del piano complesso). Che sia chiuso è assolutamente ovvio, se non ti sovviene è solo perché ti sei confuso. Pensaci un secondo a mente fresca e ci arrivi immediatamente, è roba da Analisi 0.5 o da Topologia 0.01.
La dimostrazione parte subito da è ovvio che $F \subseteq C$
Domanda 2: A questo punto della dimostrazione \(C\) è l'insieme dei vettori di \(\mathcal{H}\) che possono essere approssimati arbitrariamente bene con combinazioni lineari finite di elementi di \(F\), o equivalentemente al più piccolo sottospazio vettoriale chiuso di \(\mathcal{H}\) contenente \(F\).
Se mi dici quale delle due definizioni di $C$ è quella corretta cerco di figurarmelo da solo anch'io.
"5mrkv":
[quote="dissonance"]Domanda 1: \(\{0\}\) è inteso come un sottoinsieme della retta reale (o del piano complesso). Che sia chiuso è assolutamente ovvio, se non ti sovviene è solo perché ti sei confuso. Pensaci un secondo a mente fresca e ci arrivi immediatamente, è roba da Analisi 0.5 o da Topologia 0.01.
Insomma se lo esprimo come intervallo di $R$ allora non può essere altrimenti che ${\0}\ = [0]$ ?[/quote]
Ma chi è il complementare di $\{0\}$ in $RR$?
P.S. Oppure ti puoi ricordare che $RR$ è di Hausdorff e quindi è anche T1, cioè...
A posto 
Per il discorso di \(\{0\}\) io penserei in termini di successioni: ([size=90]in uno spazio metrico[/size]) un sottoinsieme è chiuso se e solo se contiene il limite di ogni sua successione convergente. Chiaramente in \(\{0\}\) l'unica successione è
\[ (0, 0, 0, 0, \ldots)\]
che ha limite \(0\) e quindi appartenente a \(\{0\}\) stesso. Questo è il ragionamento più semplice possibile.
Per quanto riguarda \(C\), alla fine della fiera avrai per esso un mucchio di definizioni equivalenti. Ma a questo punto esso è definito come scrivevo a parole sopra. E' chiaro che contiene \(F\), perché ogni elemento \(f\) di \(f\) si può approssimare perfettamente con sé stesso, e quindi \(f \in C\).
\[ (0, 0, 0, 0, \ldots)\]
che ha limite \(0\) e quindi appartenente a \(\{0\}\) stesso. Questo è il ragionamento più semplice possibile.
Per quanto riguarda \(C\), alla fine della fiera avrai per esso un mucchio di definizioni equivalenti. Ma a questo punto esso è definito come scrivevo a parole sopra. E' chiaro che contiene \(F\), perché ogni elemento \(f\) di \(f\) si può approssimare perfettamente con sé stesso, e quindi \(f \in C\).
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