Complementare di uno spazio affine di dimensione $k$ in $RR^n$ omotopo a $S^(n-k-1)$
Sia $WsubeRR^n$ un sottospazio affine di dimensione $k$. Si provi che $RR^n\\W$ è omotopicamente equivalente a $S^(n−k−1)$.
A meno di una traslazione (che è un omeomorfismo), possiamo supporre che $W$ passi per l’origine e a meno di un automorfismo lineare (ancora un omeomorfismo) possiamo supporre che le $k$ coordinate di $W$ siano le ultime $k$ in $RR^n$. Ma allora $RR^n\\W$ è omeomorfo a $(RR^(n-k)\\{(0,...,0)})xxRR^k$. Ma $RR^(n-k)\\{(0,...,0)}$ è omotopo a $S^(n-k-1)$ e $RR^k$ è omotopo al punto ${p}$, da cui $(RR^(n-k)\\{(0,...,0)})xxRR^k$ è omotopo a $S^(n-k-1)xx{p}$ e quest'ultimo è omeomorfo a $S^(n-k-1)$.
A meno di una traslazione (che è un omeomorfismo), possiamo supporre che $W$ passi per l’origine e a meno di un automorfismo lineare (ancora un omeomorfismo) possiamo supporre che le $k$ coordinate di $W$ siano le ultime $k$ in $RR^n$. Ma allora $RR^n\\W$ è omeomorfo a $(RR^(n-k)\\{(0,...,0)})xxRR^k$. Ma $RR^(n-k)\\{(0,...,0)}$ è omotopo a $S^(n-k-1)$ e $RR^k$ è omotopo al punto ${p}$, da cui $(RR^(n-k)\\{(0,...,0)})xxRR^k$ è omotopo a $S^(n-k-1)xx{p}$ e quest'ultimo è omeomorfo a $S^(n-k-1)$.
Risposte
Mi sembra l'unico modo sensato di farlo.
"megas_archon":
Mi sembra l'unico modo sensato di farlo.
Perfetto, grazie.
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