Complementare di una circonferenza nello spazio
Sia $C$ una circonferenza che giace su un piano di $RR^3$. Sia $X = RR^3\\C$.
(1) Ricordando che $S^3$ è la compattificazione di Alexandroff di $RR^3$, si provi che $X$ è omeomorfo al complementare in $RR^3$ di una retta $r$ e di un punto $p$ fuori da essa.
(2) Usando il teorema di van Kampen, si determini il gruppo fondamentale di $X$.
Per (1) non ho ben capito come usare il fatto che $S^3$ è la compattificazione di Alexandroff di $RR^3$, per il punto (2) ho considerato due piani distinti che stanno fra $r$ e $p$, chiamiamo $P_1$ il piano più vicino a $r$ e $P_2$ il piano più vicino a $p$, allora prendo i due aperti $A=text{semispazio che contiene } r text{ ed è delimitato da } P_2 text{ (non contenente } P_2 )$ e $B=text{semispazio che contiene } p text{ ed è delimitato da } P_1 text{ (non contenente } P_1 )$, abbiamo che $pi_1(A)~=ZZ$, $pi_1(B)~={0}$,$pi_1(AnnB)~={0}$, da cui $pi_1(X)~=ZZ$. Qualcuno mi sa dire, grazie.
(1) Ricordando che $S^3$ è la compattificazione di Alexandroff di $RR^3$, si provi che $X$ è omeomorfo al complementare in $RR^3$ di una retta $r$ e di un punto $p$ fuori da essa.
(2) Usando il teorema di van Kampen, si determini il gruppo fondamentale di $X$.
Per (1) non ho ben capito come usare il fatto che $S^3$ è la compattificazione di Alexandroff di $RR^3$, per il punto (2) ho considerato due piani distinti che stanno fra $r$ e $p$, chiamiamo $P_1$ il piano più vicino a $r$ e $P_2$ il piano più vicino a $p$, allora prendo i due aperti $A=text{semispazio che contiene } r text{ ed è delimitato da } P_2 text{ (non contenente } P_2 )$ e $B=text{semispazio che contiene } p text{ ed è delimitato da } P_1 text{ (non contenente } P_1 )$, abbiamo che $pi_1(A)~=ZZ$, $pi_1(B)~={0}$,$pi_1(AnnB)~={0}$, da cui $pi_1(X)~=ZZ$. Qualcuno mi sa dire, grazie.
Risposte
Compattificando \(\mathbb{R}^3\) aggiungendo un punto, ottieni \(\mathbb{S}^3\);
in particolare \(C\) sarà un sottoinsieme chiuso \(\widetilde{C}\) di \(\mathbb{S}^3\).
Da \(\mathbb{S}^3\) togli un punto di \(\widetilde{C}\): cosa accade?
in particolare \(C\) sarà un sottoinsieme chiuso \(\widetilde{C}\) di \(\mathbb{S}^3\).
Da \(\mathbb{S}^3\) togli un punto di \(\widetilde{C}\): cosa accade?
"j18eos":
Compattificando \(\mathbb{R}^3\) aggiungendo un punto, ottieni \(\mathbb{S}^3\);
in particolare \(C\) sarà un sottoinsieme chiuso \(\widetilde{C}\) di \(\mathbb{S}^3\).
Da \(\mathbb{S}^3\) togli un punto di \(\widetilde{C}\): cosa accade?
Mi verebbe da dire che $\tilde C\\{p}$ è omeomorfo a una retta (poichè omeomorfo a $RR$), ma non sono sicuro e non ho ben capito cosa volevi che io dicessi togliendo un punto di $\tilde C$ da $S^3$
Ho scritto un leggero errore...
Ripeto la domanda: se da \(\mathbb{S}^3\) togli \(\widetilde{C}\) e il punto "di compattificazione" \(\infty\) cosa accade?
Ripeto la domanda: se da \(\mathbb{S}^3\) togli \(\widetilde{C}\) e il punto "di compattificazione" \(\infty\) cosa accade?
"j18eos":
Ho scritto un leggero errore...
Ripeto la domanda: se da \(\mathbb{S}^3\) togli \(\widetilde{C}\) e il punto "di compattificazione" \(\infty\) cosa accade?
È omeomorfo a $RR^3\\C$ ma a sua volta se prendo un punto su $\tilde C$ e faccio partire l'omeomorfismo da questo punto è omeomorfo a $RR^3$ meno una retta e un punto? Sennò non ho capito bene dove mi dovrei concentrare, grazie.
Sì, è lì che devi arrivare 
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