Compatto<=>sequenzialmente compatto
Wikipedia says:
Si possono avere maggiori precisazioni?
Dove vale l'equivalenza: (compatto <=> sequenzialmente compatto) ?
Ricordo di aver letto risultati migliori da qualche parte..ma non riesco a ritrovarli.
A metrizable space is sequentially compact if and only if it is compact. However, in general there exist compact spaces which are not sequentially compact, and conversely.
Si possono avere maggiori precisazioni?
Dove vale l'equivalenza: (compatto <=> sequenzialmente compatto) ?
Ricordo di aver letto risultati migliori da qualche parte..ma non riesco a ritrovarli.
Risposte
La precisazione potrebbe essere da ricercarsi nelle definizioni di compatto e sequenzialmente compatto!
L'equivalenza vale sempre in spazi metrizzabili come dice la citazione.
Se non sono metrizzabili allora possiamo trovare spazi compatti ma non sequenzialmente compatti!
L'equivalenza vale sempre in spazi metrizzabili come dice la citazione.
Se non sono metrizzabili allora possiamo trovare spazi compatti ma non sequenzialmente compatti!
Per compatto intendo: da ogni ricoprimento aperto è possibile estrarre un sottoricoprimento finito.
Per sequenzialmente compatto: data una successione di elementi dell'insieme, esiste un'estratta convergente a un elemento dell'inisieme.
Mi stai dicendo che vale l'equivalenza<=> siamo in uno spazio metrizzabile
?
Per sequenzialmente compatto: data una successione di elementi dell'insieme, esiste un'estratta convergente a un elemento dell'inisieme.
Mi stai dicendo che vale l'equivalenza<=> siamo in uno spazio metrizzabile
?
A metrizable space is sequentially compact if and only if it is compact
Esattamente!
Sequenzialmente compatto: "Uno spazio topologico X si dice compatto per successioni (o sequenzialmente compatto) se ogni successione di punti in X ammette una sottosuccessione convergente."
Ah, speravo in un risultato migliore.
Chessò: (vale l'equivalenza (compatto<=>sequenzialmente compatto)<=>vale il secondo assioma di numerabilità
o qualcosa di meno stringente di richiedere tutto quello che chiede la metrizzabilità di uno spazio.
Cioè: volevo capire cosa c'era alla base di questa equivalenza.
Mi sapreste dare esempi e controesempi di (vale l'equivalenza<=>lo spazio è metrizzabile)
(o fonti dove cercarli)?
Chessò: (vale l'equivalenza (compatto<=>sequenzialmente compatto)<=>vale il secondo assioma di numerabilità
o qualcosa di meno stringente di richiedere tutto quello che chiede la metrizzabilità di uno spazio.
Cioè: volevo capire cosa c'era alla base di questa equivalenza.
Mi sapreste dare esempi e controesempi di (vale l'equivalenza<=>lo spazio è metrizzabile)
(o fonti dove cercarli)?
Ripensando alla dimostrazione (o quel che ricordo) di questa equivalenza sugli spazi metrici, se non sbaglio è fondamentale proprio l'uso della metrica. A me il tuo problema sembra mal posto o poco chiaro. (Forse non ho capito io)
Così a naso ti direi che l'equivalenza vale solo sugli spazi metrici, perchè l'esistenza della metrica ti permette di ricondurre ciascuna proprietà all'altra. In generale che vuol dire chiedersi se si equivalgono? Mi sembra che questa "equivalenza" sia una proprietà della classe degli spazi metrici e non di ciascuno degli spazi metrici. Dunque ti stai chiedendo se la stessa proprietà vale per una sopra-classe della classe degli spazi metrici...
Mi ricordo che sul mio eserciziario di topologia generale (campanella) si diceva che esistono spazi top non metrici in cui valgono entrambe le proprietà e li definiva "patologici".
Così a naso ti direi che l'equivalenza vale solo sugli spazi metrici, perchè l'esistenza della metrica ti permette di ricondurre ciascuna proprietà all'altra. In generale che vuol dire chiedersi se si equivalgono? Mi sembra che questa "equivalenza" sia una proprietà della classe degli spazi metrici e non di ciascuno degli spazi metrici. Dunque ti stai chiedendo se la stessa proprietà vale per una sopra-classe della classe degli spazi metrici...
Mi ricordo che sul mio eserciziario di topologia generale (campanella) si diceva che esistono spazi top non metrici in cui valgono entrambe le proprietà e li definiva "patologici".
Esatto, mi domandavo se ad esempio valesse..boh, in uno Haussdorf, o simili..
Vabbè, tanto tra un po' mi studierò l'esame che tratta di topologie e similia.. e cercherò di capirne di più.
Grazie a tutti per la pazienza
Vabbè, tanto tra un po' mi studierò l'esame che tratta di topologie e similia.. e cercherò di capirne di più.
Grazie a tutti per la pazienza
"Gaal Dornick":
Mi sapreste dare esempi e controesempi di (vale l'equivalenza<=>lo spazio è metrizzabile)
(o fonti dove cercarli)?
Purtroppo quel se e solo se non vale: per esempio, uno spazio $X$ (con almeno due punti) dotato della topologia che io chiamo indiscreta, cioè quella i cui unici aperti sono $\emptyset$ e $X$, è compatto e sequenzialmente compatto (e tale è ogni sottospazio di $X$) ma non è metrizzabile.
Per i 1001 esempi e controesempi di topologia generale consiglio: Steen, Seebach, Counterexamples in Topology.
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