Compattificazione ad un punto
Dimostra che il la compattificazione a un punto di \( ((0,1),\tau_{E} ) \) è omeomorfo a \( S^1 \).
Posso dimostrarlo così?
\( ((0,1),\tau_{E} ) \) è omeomorfo a \( S^1 \setminus \{ (1,0) \} \) infatti abbiamo che
\( f: (0,1) \to S^1 \setminus \{ (1,0) \} \) definita da \( x \mapsto ( \cos(2\pi x), \sin(2 \pi x) ) \) è un omeomorfismo.
Difatti \( f \) biiettiva, \( f \) e \( f^{-1} \) sono continue.
Abbiamo inoltre che dati due spazi \( ( X, \tau_X) \) e \( (Y,\tau_Y) \) omeomorfi allora le loro compattificazione ad un punto \( ( X', \tau_X') \) e \( (Y',\tau_Y') \) sono omeomorfe.
Infatti se \( f : X \to Y \) è un omeomorfismo, allora \( f' : X' \to Y' \) definita da \( \forall x \in X \) \( f'(x)=f(x) \) e \( f(\infty)=\infty \) è un omeomorfismo. \(f' \) è chiaramente biiettiva inoltre
Infatti per ogni \( U \in \tau_Y \) abbiamo che \( f'^{-1}(U) = f^{-1} (U) \in \tau_X \), se \( \infty \in U \) abbiamo che \( U \in \tau_Y' \setminus \tau_Y \) e pertanto abbiamo che \( U = Y \setminus K \cup \{ \infty \} \), dove \(K \) è un compatto chiuso in \( Y \), e dunque
\[ f'^{-1}(Y \setminus K \cup \{ \infty \} ) =f^{-1}(Y \setminus K) \cup f'^{-1}(\{ \infty \} ) =f^{-1}(Y \setminus K) \cup \{ \infty \} \in \tau_X' \setminus \tau_X \]
Allo stesso modo abbiamo che \( (f^{-1})' \) è continua.
Pertanto abbiamo che \( (0,1) \cup \{ \infty \} \) è omeomorfo alla compattificazione ad un punto di \( S^1 \setminus \{(1,0) \} \cup \{(1,0) \} \)
e \( f' : (0,1) \cup \{ \infty \} \to S^1 \) è definita come, per ogni \( x \in (0,1) \), \( f'(x)=f(x)= ( \cos(2\pi x), \sin(2 \pi x) ) \) mentre \( f(\infty)=(1,0) \).
Posso dimostrarlo così?
\( ((0,1),\tau_{E} ) \) è omeomorfo a \( S^1 \setminus \{ (1,0) \} \) infatti abbiamo che
\( f: (0,1) \to S^1 \setminus \{ (1,0) \} \) definita da \( x \mapsto ( \cos(2\pi x), \sin(2 \pi x) ) \) è un omeomorfismo.
Difatti \( f \) biiettiva, \( f \) e \( f^{-1} \) sono continue.
Abbiamo inoltre che dati due spazi \( ( X, \tau_X) \) e \( (Y,\tau_Y) \) omeomorfi allora le loro compattificazione ad un punto \( ( X', \tau_X') \) e \( (Y',\tau_Y') \) sono omeomorfe.
Infatti se \( f : X \to Y \) è un omeomorfismo, allora \( f' : X' \to Y' \) definita da \( \forall x \in X \) \( f'(x)=f(x) \) e \( f(\infty)=\infty \) è un omeomorfismo. \(f' \) è chiaramente biiettiva inoltre
Infatti per ogni \( U \in \tau_Y \) abbiamo che \( f'^{-1}(U) = f^{-1} (U) \in \tau_X \), se \( \infty \in U \) abbiamo che \( U \in \tau_Y' \setminus \tau_Y \) e pertanto abbiamo che \( U = Y \setminus K \cup \{ \infty \} \), dove \(K \) è un compatto chiuso in \( Y \), e dunque
\[ f'^{-1}(Y \setminus K \cup \{ \infty \} ) =f^{-1}(Y \setminus K) \cup f'^{-1}(\{ \infty \} ) =f^{-1}(Y \setminus K) \cup \{ \infty \} \in \tau_X' \setminus \tau_X \]
Allo stesso modo abbiamo che \( (f^{-1})' \) è continua.
Pertanto abbiamo che \( (0,1) \cup \{ \infty \} \) è omeomorfo alla compattificazione ad un punto di \( S^1 \setminus \{(1,0) \} \cup \{(1,0) \} \)
e \( f' : (0,1) \cup \{ \infty \} \to S^1 \) è definita come, per ogni \( x \in (0,1) \), \( f'(x)=f(x)= ( \cos(2\pi x), \sin(2 \pi x) ) \) mentre \( f(\infty)=(1,0) \).
Risposte
Dal tuo messaggio non è chiaro perché la compattificazione a un punto di $S^1\setminus{(1,0)}$ sia $S^1$, il resto va bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo