Compatti in aperti

[cicciapallina]

Ciao a tutti!
Ho un dubbio: perché in un aperto possiamo prendere un compatto?
Grazie per le risposte

[dissonance]

Dilla bene, contestualizza un po'. Come la metti la cosa è super-banale: se un aperto \(A\) di uno spazio topologico \(X\) non è vuoto, vuol dire che contiene almeno un punto: \(x \in A\). Allora \(\{x\}\) è un sottoinsieme compatto di \(A\).

Ma sicuramente ti stai riferendo ad altro, probabilmente relativo a qualche spazio particolare come \(\mathbb{R}^n\). Spiegati meglio.

[cicciapallina]

ho un aperto di $ RR ^(n+1) $. In questo aperto posso prendere un compatto.
Per esempio in $ RR ^2 $ posso prendere un rettangolo. Perché?

[dissonance]

Siamo daccapo. Certo che puoi prendere un compatto: banalissimamente ogni aperto non vuoto contiene compatti, perché contiene singoletti (=insiemi ridotti ad un singolo punto).

Forse tu vuoi dire:

dato un aperto \(U\) di \(\mathbb{R}^{n+1}\) ed un punto \(x \in U\), esiste un intorno compatto \(V\) di \(x\) contenuto in \(U\).

E' questa la proposizione che vuoi dimostrare?

[cicciapallina]

Si, voglio dimostrare quello che hai scritto.
Grazie per la precisazione.

[dissonance]

Siano \(x\) e \(U\) come sopra. Siccome \(U\) è aperto, esiste una sfera aperta \(B_{\rho}\) di centro \(x\) e raggio \(\rho>0\) contenuta in \(U\). Basta considerare una sfera chiusa di raggio un po' più piccolo, diciamo \(\overline{B}_{\rho/2}\), per ottenere un intorno compatto di \(x\) contenuto in \(U\).

Volendo si potrebbero fare ragionamenti analoghi con altre figure geometriché: parallelepipedi, rettangoli...

[cicciapallina]

Quindi in U posso prendere una palla di centro x e raggio r e dentro la palla un rettangolo con la diagonale uguale a metà raggio?

[dissonance]

Si, certo, puoi fare pure così.

[gugo82]

Apro e chiudo parentesi.
Per convincersi del perché si potesse fare quanto cicciapallina chiedeva, bastava farsi un disegnino... La topologia di \(\mathbb{R}^2\) è una cosa molto intuitiva.