Compatti
Con l'inizio dei corsi universitari mi ero ripromesso di accantonare (almeno fino al prossimo periodo di vacanza da esami) spazi topologici, aperti, chiusi, assiomi di numerabilità & company... Spero che questa sia la prima e ultima eccezione... eccezione che vorrei fare perché non mi è proprio chiara una cosa:
Ho letto che un intervallo di $RR$ euclideo è compatto sse è chiuso e limitato, insomma è del tipo $[a,b]$. Dunque un intervallo limitato ma aperto di $RR$ euclideo non è compatto. Dalla definizione, un intervallo del tipo $(a,b)$ però può essere ricoperto da un numero finito di aperti. Orbene, perché allora tale insieme non è compatto?
Ho letto che un intervallo di $RR$ euclideo è compatto sse è chiuso e limitato, insomma è del tipo $[a,b]$. Dunque un intervallo limitato ma aperto di $RR$ euclideo non è compatto. Dalla definizione, un intervallo del tipo $(a,b)$ però può essere ricoperto da un numero finito di aperti. Orbene, perché allora tale insieme non è compatto?
Risposte
"Kroldar":
Dalla definizione, un intervallo del tipo $(a,b)$ però può essere ricoperto da un numero finito di aperti. Orbene, perché allora tale insieme non è compatto?
Compattezza non vuol dire possibilità di ricoprire con un numero finito di aperti (tra l'altro, se $X$ è uno spazio topologico, $X$ stesso è sempre un aperto e quindi ogni spazio topologico ha sempre un ricoprimento aperto finito: ne basta uno...)
Compattezza vuol dire che dato comunque un ricoprimento, da questo se ne può "estrarre" uno finito (la terminologia "politically correct" è che ammette un sottoricoprimento finito)
Allora, vediamo che $(0,1)$ non è compatto
$(0,1) = \cup_{n \in NN} (1/n, 1)$
e se prendiamo una famiglia finita di intervalli (aperti) del tipo $(1/n, 1)$, non ce la facciamo a "ricoprire" tutto $(0,1)$
buonanotte
Non so quante volte ho visto fsre questo errore nella definizione di compatezza.
In fondo basta pensare che ogni spazio topologico ha un ricoprimento finito: tutto lo spazio; quindi ogni spazio sarebbe compatto!
Platone
In fondo basta pensare che ogni spazio topologico ha un ricoprimento finito: tutto lo spazio; quindi ogni spazio sarebbe compatto!
Platone
"Kroldar":
Ho letto che un intervallo di $RR$ euclideo è compatto sse è chiuso e limitato, insomma è del tipo $[a,b]$.
questo è un caso particolare, ossia è l'enunciato del teorema di Heine-Borel (che ha una dimostrazione lunghissima che non ricordo).
la definizione di compattezza è quella data da Fioravante.
nota un compatto è sempre chiuso e limitato, ma la proposizione inversa non vale necessariamente!
ciao
E' vero, si tratta di un errore comune ma purtroppo serio; a difesa di kroldar posso solo ricordare che non ha una formazione da matematico, bensì è un autodidatta. Se un errore così lo facesse un matematico, sarebbe il caso di togliergli la laurea.
Per wedge: io non so che dimostrazione tu abbia in mente, ma il Teorema che afferma che i compatti in dimensione finita sono tutti e soli i chiusi e limitati non è per niente difficile, nè lunga.
"Luca.Lussardi":
Per wedge: io non so che dimostrazione tu abbia in mente, ma il Teorema che afferma che i compatti in dimensione finita sono tutti e soli i chiusi e limitati non è per niente difficile, nè lunga.
mi sembra la dimostrazione passasse attraverso 3-4 lemmi, ora non posso verificare perchè non ho qua il mio quaderno di analisi 1...
"Luca.Lussardi":
Per wedge: io non so che dimostrazione tu abbia in mente, ma il Teorema che afferma che i compatti in dimensione finita sono tutti e soli i chiusi e limitati non è per niente difficile, nè lunga.
Luca, è anche questione di "prospettiva".
Le dim del teorema di Weierstrass o del teorema di Dini (per fare due esempi di dim non banali), da studente difficili me lo sembravano.
Ora, che mi sono abituato alla matematica, mi sembrano non solo facili, ma addirittura "ovvie", nel senso che naturalmente mettono semplicemente le cose giuste al posto giusto nel momento giusto.
Non parlo di Heine-Borel perché da studente me la sono schivata
Forse ho sbagliato a tirare in gioco la difficoltà; però non mi pare sia lunga la dimostrazione...
Sono andato a controllare...
Effettivamente la dim di Heine-Borel, in $RR$, non è lunga (mi riferisco alla dimostrazione che $[a,b]$ è compatto)..
Sono anche d'accordo con Luca che dimostrare che $[a,b]$ è compatto non è neanche particolarmente difficile (non banale, s'intende, e immagino che rappresenti uno scoglio per molti studenti con preparazione media).
Effettivamente la dim di Heine-Borel, in $RR$, non è lunga (mi riferisco alla dimostrazione che $[a,b]$ è compatto)..
Sono anche d'accordo con Luca che dimostrare che $[a,b]$ è compatto non è neanche particolarmente difficile (non banale, s'intende, e immagino che rappresenti uno scoglio per molti studenti con preparazione media).
No ma immagino si riferisse alla dimostrazione del teorema per cui in uno spazio metrico completo chiuso e totalmente limitato equivale a compatto.
Quella un po' lunghetta la è.
Quella un po' lunghetta la è.
Però solitamemente questo che citi tu non si chiama Heine-Borel.
allora, sicuramente la memoria aveva ingigantito un po' le cose...
concordo con chi ha detto che è questione di prospettive, la dimostrazione di H-B (molto simile a questa www.math.utah.edu/~bobby/3210/heine-borel.pdf) occupa sul mio quaderno più di qualunque altro teorema di Analisi
concordo con chi ha detto che è questione di prospettive, la dimostrazione di H-B (molto simile a questa www.math.utah.edu/~bobby/3210/heine-borel.pdf) occupa sul mio quaderno più di qualunque altro teorema di Analisi
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