Compattezza, totale limitatezza (e dischi chiusi)
Ciao, amici! Trovo, su un testo di analisi complessa, una definizione di totale limitatezza di uno spazio metrico leggermente diversa da quella che conoscevo io, cioè il mio testo di analisi complessa, il Presilla, dice che uno spazio metrico \((S,d)\) è detto toalmente limitato se $\forall\epsilon>0$ esiste un sottoinsieme finito di $S$, diciamo ${x_1,...,x_n}$ tale che \(S=\cup_{i=1}^n B(x_i,\varepsilon)\), dove \(B(x_i,\varepsilon)=\{y\in S:d(x_i,y)<\varepsilon\}\), mentre da Sernesi sapevo che uno spazio metrico si dice totalmente limitato se per ogni $\epsilon>0$ esso possiede un ricoprimento finito costituito da dischi chiusi di raggio $\epsilon$, dove credo che un disco chiuso, nella terminologia* del Sernesi, centrato in $x$ sia \(\overline{B(x_i,\varepsilon)}\), cioè la chiusura di \(B(x_i,\varepsilon)\), che direi che sia un sottoinsieme, non necessariamente improprio, di \(\{y\in S:d(x_i,y)\leq\varepsilon\}\).
Credo che le due definizioni di totale limitatezza siano equivalenti, infatti mi pare che, se \(S=\cup_{i=1}^n B(x_i,\varepsilon)\) allora vale anche \(S=\cup_{i=1}^n \overline{B(x_i,\varepsilon)}\) e, viceversa, se \(S=\cup_{i=1}^n \overline{B(x_i,\varepsilon)}\) qualunque $\delta>0$ arbitrariamente piccolo soddisfa l'espressione \(S=\cup_{i=1}^n B(x_i,\varepsilon+\delta)\). Giusto?
Avrei poi una domanda sulla compattezza: io sapevo che uno spazio topologico è compatto quando ogni ricoprimento aperto possiede un sottoricoprimento finito. Leggo ora che uno spazio topologico è compatto quando ogni copertura ammette una sottocopertura finita. Si intende aperta e non vale in generale per un ricoprimento non di aperti, vero?
$\infty$ grazie a tutti!
*Il Presilla chiama invece palla chiusa \(\overline{B}(x_i,\varepsilon):=\{y\in S:d(x_i,y)\leq\varepsilon\}\), in generale non uguale alla chiusura \(\overline{B(x_i,\varepsilon)}\) della palla aperta. Che bello se in matematica ci fosse uniformità terminologica come come in chimica con gli standard della IUPAC...
Credo che le due definizioni di totale limitatezza siano equivalenti, infatti mi pare che, se \(S=\cup_{i=1}^n B(x_i,\varepsilon)\) allora vale anche \(S=\cup_{i=1}^n \overline{B(x_i,\varepsilon)}\) e, viceversa, se \(S=\cup_{i=1}^n \overline{B(x_i,\varepsilon)}\) qualunque $\delta>0$ arbitrariamente piccolo soddisfa l'espressione \(S=\cup_{i=1}^n B(x_i,\varepsilon+\delta)\). Giusto?
Avrei poi una domanda sulla compattezza: io sapevo che uno spazio topologico è compatto quando ogni ricoprimento aperto possiede un sottoricoprimento finito. Leggo ora che uno spazio topologico è compatto quando ogni copertura ammette una sottocopertura finita. Si intende aperta e non vale in generale per un ricoprimento non di aperti, vero?
$\infty$ grazie a tutti!
*Il Presilla chiama invece palla chiusa \(\overline{B}(x_i,\varepsilon):=\{y\in S:d(x_i,y)\leq\varepsilon\}\), in generale non uguale alla chiusura \(\overline{B(x_i,\varepsilon)}\) della palla aperta. Che bello se in matematica ci fosse uniformità terminologica come come in chimica con gli standard della IUPAC...
Risposte
Le due definizioni di totale limitatezza sono, come hai mostrato, equivalenti.
Il problema dell'inclusione stretta della chiusura della palla aperta nella palla chiusa, si presenta con metriche non proprio standard (forse non-standard non è il termine più adatto, dal momento che la metrica discreta è un facile esempio in cui l'inclusione stretta si verifica). Dal momento che il testo a cui fai riferimento è un testo di analisi complessa, quando poi arrivi al punto di usare quei concetti, la chiusura della palla aperta è sempre la palla chiusa.
Per quanto riguarda la compattezza, dipende un po' da come definiscono copertura. Personalmente credo che sottointendano "aperta". In generale non so quanto senso abbia parlare di ricoprimenti che non sono aperti. Se si intende semplicemente una famiglia di insiemi la cui unione è l'intero ambiente, l'esempio più banale dato dalla copertura fatta di singoletti (o qualche variante) distruggerebbe il concetto di compattezza. Forse intendono insiemi con una qualche "regolarità topologica": tipicamente insiemi che sono contenuti nella chiusura del loro interno (quindi non ammettono punti isolati, o "pezzi" staccati da tutto senza punti interni). In quest'ultimo caso, credo, la compattezza definita da un ricoprimento non necessariamente aperto e uno aperto dovrebbero essere equivalenti. Ma ripeto, secondo me sottointendono che gli insiemi siano aperti.
Il problema dell'inclusione stretta della chiusura della palla aperta nella palla chiusa, si presenta con metriche non proprio standard (forse non-standard non è il termine più adatto, dal momento che la metrica discreta è un facile esempio in cui l'inclusione stretta si verifica). Dal momento che il testo a cui fai riferimento è un testo di analisi complessa, quando poi arrivi al punto di usare quei concetti, la chiusura della palla aperta è sempre la palla chiusa.
Per quanto riguarda la compattezza, dipende un po' da come definiscono copertura. Personalmente credo che sottointendano "aperta". In generale non so quanto senso abbia parlare di ricoprimenti che non sono aperti. Se si intende semplicemente una famiglia di insiemi la cui unione è l'intero ambiente, l'esempio più banale dato dalla copertura fatta di singoletti (o qualche variante) distruggerebbe il concetto di compattezza. Forse intendono insiemi con una qualche "regolarità topologica": tipicamente insiemi che sono contenuti nella chiusura del loro interno (quindi non ammettono punti isolati, o "pezzi" staccati da tutto senza punti interni). In quest'ultimo caso, credo, la compattezza definita da un ricoprimento non necessariamente aperto e uno aperto dovrebbero essere equivalenti. Ma ripeto, secondo me sottointendono che gli insiemi siano aperti.
"Pappappero":In ogni caso direi che si abbia sempre \(\overline{B(x,\varepsilon)}\subset \overline{B}(x,\varepsilon):=\{y\in X:d(x,y)\leq\varepsilon\}\), vero? Mi sembra infatti immediato che \(\partial B(x,\varepsilon)\subset\{y\in X:d(x,y)=\varepsilon\} \), se non sbaglio...
Il problema dell'inclusione stretta della chiusura della palla aperta nella palla chiusa
"Pappappero":Già. Come esempio di chiusura della palla aperta contenuta propriamente nella palla chiusa il mio testo di analisi complessa riporta, per la palla aperta \(B(3,2)\), la chiusura che è \(\overline{B(3,2)}=B(3,2)\), sottoinsieme proprio di \(\overline{B}(3,2):=\{z\in S:d(z,3)\leq 2\}\) nello spazio metrico sconnesso \(S=\{z\in\mathbb{C}:d(z,0)\leq 1\lor d(z,3)<1\}\) con distanza indotta da quella euclidea in $\mathbb{C}$, ma mi dispiace di non aver trovato questa interessantissima precisazione nei miei studi di topologia sul Sernesi.
Dal momento che il testo a cui fai riferimento è un testo di analisi complessa, quando poi arrivi al punto di usare quei concetti, la chiusura della palla aperta è sempre la palla chiusa.
"Pappappero":Ah, ecco. Infatti il mio testo possiede una gran bella trattazione di alcune delle proprietà degli spazi metrici, ma utilizzando sempre equivalenti metrici delle definizioni e delle proprietà topologiche presentate e la definizione topologica di compattezza da me riportata è scritta brevemente tra parentesi come richiamo o spunto per approfondimenti. Senz'altro si intenderà per ogni ricopertura aperta.
In generale non so quanto senso abbia parlare di ricoprimenti che non sono aperti.
$\infty$ grazie ancora!!!
Si...l'inclusione della chiusura della palla aperta nella palla chiusa vale sempre. Una dimostrazione rapida si ha dal fatto che, fissato $x_0$, la funzione di $y$ definita da $d(x_0, y)$ è una funzione continua di $y$ nella topologa metrica a valori in $\mathbb{R}$. Ora, ogni punto della chiusura della palla è limite di una successione di punti nella palla. Prendiamo dunque $x_n$ una successione in $B(x_0,\epsilon)$, che converga a $x \in X$. Quindi $x \in \bar{B(x_0,\epsilon)$. Visto che $d(x_0,y)$ è continua, si ha che $d(x_0,x_n) \to d(x_0 ,x)$, e visto che $d(x_0,x_n) < \epsilon$ per ogni $n$, si ottiene che $d(x_0,x) \le \epsilon$.
$\infty$ grazie!!!
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