Compattezza in uno stato metrizzabile

[streghettaalice]

Dimostrare utilizzando $RR$ che in uno spazio metrizzabile un insieme chiuso e limitato non è necessariamente compatto.
Quello che non capisco è come faccio a dimostrarlo con $RR$ visto che è illimitato..

[mistake89]

A naso direi che puoi pensare alla distanza banale.
$RR$ è chiuso e limitato con quella distanza.

[streghettaalice]

cosa intendi per distanza banale?

[mistake89]

$d(x,y)=0$ se $x=y$, uguale ad $1$ se $x ne y$

[streghettaalice]

quindi basta che considero una distanza metrica limitata?

[streghettaalice]

quindi basta che considero una distanza metrica limitata?

[mistake89]

Mboh sì, forse funziona lo stesso. (ora non ho tempo per pensarci perchè sto uscendo!)

Con quella però che ti ho indicato tutto dovrebbe tornare.

[dissonance]

"mistake89":Mboh sì, forse funziona lo stesso. (ora non ho tempo per pensarci perchè sto uscendo!)

Si, si, funziona lo stesso. Per esempio puoi prendere questa distanza: $d(x, y)="min"(|x-y|, 1)$. Adesso però devi trovare in $(RR, d)$ un insieme chiuso, limitato, non compatto.

[vict85]

Puoi partire dal fatto che in una metrica finita ogni sottospazio è limitato. Infatti ogni punto dista da ogni altro al più di una costante [tex]M\in \mathbb{R}[/tex]. Se ti fa piacere puoi anche porre [tex]M = \sup_{(x,y)\in \mathbb{R}^2} d(x,y)[/tex].

D'altra parte non ho la certezza che nel caso generale si possa trovare un insieme numerabile [tex]X[/tex] tale che [tex]\inf_{(x,y)\in X^2} d(x,y) = \varepsilon > 0[/tex]. Ma forse dissonance ci ha ragionato più di me. Ovviamente ora mi sto un po' distaccando dal problema della discussione per cui basta pensarci nel caso di metrica banale e in cui questo insieme evidentemente esiste.

[dissonance]

"vict85":D'altra parte non ho la certezza che nel caso generale si possa trovare un insieme numerabile [tex]X[/tex] tale che [tex]\inf_{(x,y)\in X^2} d(x,y) = \varepsilon > 0[/tex].

???

E a che ti serve trovare un insieme del genere? Io pensavo ad una cosa molto più terra-terra, che scrivo in spoiler:

Se munisci $RR$ della distanza $d(x, y)="min"(|x-y|, 1)$ ottieni sempre la stessa topologia, anche se indotta da una metrica diversa, e in particolare gli insiemi compatti sono sempre gli stessi. Rispetto a questa metrica $RR$ è un insieme limitato e non è compatto.

[Antimius]

Anche rispetto alla metrica discreta $RR$ è limitato ma non compatto, no?

[mistake89]

Se non sbaglio, ciò che tu chiami metrica discreta io l'ho chiamata distanza banale!

[Antimius]

Ops, sorry, avevo letto solo l'ultimo pezzo del topic
Sì, è quella.