Compattezza in uno spazio vettoriale

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Se considero $V$ spazio vettoriale di dimensione finita, l'insieme dei suoi versori è chiuso e limitato, ma è anche compatto? Ho sentito dire di si, però non capisco perchè: l'equivalenza di chiusura e limitatezza con compattezza vale per i sottoinsiemi di $RR^n$ o mi sbaglio?

[gugo82]

Premetto che, per parlare di compattezza, devi almeno assegnare una topologia su $V$ con proprietà decenti (compatibilità con le operazioni di $V$): il modo più semplice è quello di assegnare una norma su $V$, il quale quindi diviene uno spazio vettoriale normato.

Fatta questa doverosa premessa, l'equivalenza $S " chiuso e limitato" \quad \Leftrightarrow \quad S " compatto"$ in $V$ normato e finito-dimensionale si dimostra allo stesso modo che in $RR^n$ (può essere utile introdurre un sistema di coordinate in $V$, fissando una base).

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Ti ringrazio molto, credo che il mio prof desse per scontata l'introduzione di una norma su $V$.