Compattezza in Q
Ciao a tutti, vorrei porvi un esercizio sulla compattezza di un sottoinsieme di $QQ$ al quale ho tentato di dare una soluzione della quale però non sono pienamente convinto.
Vi riporto il testo:
Io avrei pensato a questo:
Sia $\mathcal{U} ={ [ \pi /2-\varepsilon, \pi /2 +\varepsilon) | \varepsilon \in [0,\pi/2)}\cup QQ$. Tale famiglia è un ricoprimento aperto di $S$ Che non ammette sottoricoprimenti finiti poiché per ogni $\varepsilon$ esiste $q\inQQ$ tc $q\in(\pi /2 +\varepsilon, \pi)$. Segue, $S$ non è compatto.
Ha un senso o c’è qualche errore nel mio ragionamento?
Grazie mille a tutti
Vi riporto il testo:
Stabilire se $S={x \in QQ | 0 \leq x \leq \pi}$ è compatto in $QQ$
Io avrei pensato a questo:
Sia $\mathcal{U} ={ [ \pi /2-\varepsilon, \pi /2 +\varepsilon) | \varepsilon \in [0,\pi/2)}\cup QQ$. Tale famiglia è un ricoprimento aperto di $S$ Che non ammette sottoricoprimenti finiti poiché per ogni $\varepsilon$ esiste $q\inQQ$ tc $q\in(\pi /2 +\varepsilon, \pi)$. Segue, $S$ non è compatto.
Ha un senso o c’è qualche errore nel mio ragionamento?
Grazie mille a tutti
Risposte
Non ho capìto che ricoprimento (per aperti) vai a considerare...
Si scusami.. Ovviamente intendevo l'instersezione degli intervalli con $QQ$, non l'unione. Ed è altrettanto vero che quegli intervalli non sono aperti in $RR$. Mi ha ingannato il fatto che $0$ dovesse essere compreso.
Proviamo così:
[size=150]$ \mathcal{U} ={ (\pi /2 - 1 - \varepsilon, \pi /2+\varepsilon) | \varepsilon \in (0,\pi/2)}\cap QQ $[/size]
Così dovrei aver ovviato ai problemi di prima. Infatti, al variare di $\varepsilon$ ho tutti aperti di $RR$, quindi facendone l'intersezione con $QQ$ rappresentano tutti aperti di $QQ$ dotato della topologia indotta. Quindi ho un ricoprimento aperto di $S$ (questa volta forse per davvero
) che per lo stesso ragionamento di prima non ammette sottoricoprimenti finiti.
Come va sta volta? Grazie mille
Proviamo così:
[size=150]$ \mathcal{U} ={ (\pi /2 - 1 - \varepsilon, \pi /2+\varepsilon) | \varepsilon \in (0,\pi/2)}\cap QQ $[/size]
Così dovrei aver ovviato ai problemi di prima. Infatti, al variare di $\varepsilon$ ho tutti aperti di $RR$, quindi facendone l'intersezione con $QQ$ rappresentano tutti aperti di $QQ$ dotato della topologia indotta. Quindi ho un ricoprimento aperto di $S$ (questa volta forse per davvero
) che per lo stesso ragionamento di prima non ammette sottoricoprimenti finiti. Come va sta volta? Grazie mille
Utilizzando la correzione di @arnett, NON mi trovo col tuo ragionamento @Twister_: chi manca? 
Manca qualcosa.. Suggerimenti sul dove cercarla?
Ah no!, ho sbagliato a leggere... mi trovo col tuo ragionamento! 
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