Compattezza e chiusura di questo insieme
Buongiorno, eccomi con un altro problema di topologia per il quale vorrei comprendere se il mio ragionamento, del tutto intuitivo e geometrico (nel senso di grafico) è corretto oppure se ho malamente interpretato il tutto.
Mi interessa capire questo, perché poi per formalizzare e dimostrare quel che va dimostrato me ne occuperò successivamente (ma non posso farlo se non ho la certezza di aver visto bene).
Ho i seguenti insiemi.
$$A_k = \left\{(x, y) \in [0, 1] \times [0, 1]: kx + ky = 1, k \in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\} \qquad A = \bigcup_k A_k$$
Mi si chiede chi tra $A, A_k, \overline{A}$ sia chiuso / compatto.
Allora quello che ho fatto è stato rappresentare il tutto, per avere un'idea. All'inizio mi sono trovato un po' confuso ma poi ho capito che $kx + ky = 1$ non è altro che $y = 1/k - x$ ossia una famiglia di rette (bisettrici traslate del secondo e terzo quadrante) al variare di $k$ naturale.
Tuttavia la condizione $(x, y) \in [0, 1]\times [0, 1]$ mi ha portato a capire l'intero insieme sono dei triangoli al variare di $k$, e dunque la mia prima conclusione è che $A_k$ sono chiusi e limitati e quindi compatti, per ogni $k$.
Invece $A$, l'unione, non è chiuso perché per $n\to +\infty$ arrivo al limite a considerare la bisettrice $y = -x$, che però non appartiene come elemento ad $A_k$, e allora $A$ è unione ma non è chiusa, e quindi non è compatta in $\mathbb{R}^2$. Si lavora sempre con la topologia standard.
Ora la chiusura di $A$ è semplicemente $A \cup \{(x, y) \in [0, 1]\times [0, 1] : y = -x\}$ che potrei scrivere anche solo come l'origine perché $y = -x$ nel range che ho è vera solo per $y = x = 0$. Siccome la chiusura è il più piccolo chiuso che contiene $A$, esso è chiuso per definizione e inoltre è compatto perché limitato.
Mi dite per favore se IL RAGIONAMENTO e l'INTERPRETAZIONE è ok, o se ho toppato alla grande e perché? Grazie!!
Mi interessa capire questo, perché poi per formalizzare e dimostrare quel che va dimostrato me ne occuperò successivamente (ma non posso farlo se non ho la certezza di aver visto bene).
Ho i seguenti insiemi.
$$A_k = \left\{(x, y) \in [0, 1] \times [0, 1]: kx + ky = 1, k \in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\} \qquad A = \bigcup_k A_k$$
Mi si chiede chi tra $A, A_k, \overline{A}$ sia chiuso / compatto.
Allora quello che ho fatto è stato rappresentare il tutto, per avere un'idea. All'inizio mi sono trovato un po' confuso ma poi ho capito che $kx + ky = 1$ non è altro che $y = 1/k - x$ ossia una famiglia di rette (bisettrici traslate del secondo e terzo quadrante) al variare di $k$ naturale.
Tuttavia la condizione $(x, y) \in [0, 1]\times [0, 1]$ mi ha portato a capire l'intero insieme sono dei triangoli al variare di $k$, e dunque la mia prima conclusione è che $A_k$ sono chiusi e limitati e quindi compatti, per ogni $k$.
Invece $A$, l'unione, non è chiuso perché per $n\to +\infty$ arrivo al limite a considerare la bisettrice $y = -x$, che però non appartiene come elemento ad $A_k$, e allora $A$ è unione ma non è chiusa, e quindi non è compatta in $\mathbb{R}^2$. Si lavora sempre con la topologia standard.
Ora la chiusura di $A$ è semplicemente $A \cup \{(x, y) \in [0, 1]\times [0, 1] : y = -x\}$ che potrei scrivere anche solo come l'origine perché $y = -x$ nel range che ho è vera solo per $y = x = 0$. Siccome la chiusura è il più piccolo chiuso che contiene $A$, esso è chiuso per definizione e inoltre è compatto perché limitato.
Mi dite per favore se IL RAGIONAMENTO e l'INTERPRETAZIONE è ok, o se ho toppato alla grande e perché? Grazie!!
Risposte
A me sembra tutto giusto, tranne che gli $A_k$ sono segmenti, non, triangoli.
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