Compattezza di $QQnn[0, 1]$

[Angus1956]

$QQnn[0, 1]$ è compatto?
No, infatti dato che $QQ$ è denso in $RR$ allora $QQnn[0,1]$ è denso in $[0,1]$, per cui $QQnn[0,1]$ non è chiuso in $[0,1]$ (altrimenti $QQnn[0,1]$ non sarebbe denso in $[0,1]$) e quindi $QQnn[0,1]$ non è chiuso in $RR$ (perchè se lo fosse sarebbe chiuso anche in $[0,1]$, assurdo). Ma allora $QQnn[0,1]$ non è compatto poichè i compatti di $RR$ sono solo i sottoinsiemi chiusi e limitati.

[Martino]

È meglio farlo in modo elementare (senza usare la caratterizzazione dei compatti di $RR$) dimostrando per esempio che se $Y$ è sottospazio compatto di $X$ e $X$ è Hausdorff allora $Y$ è chiuso in $X$.

[Angus1956]

"Martino":È meglio farlo in modo elementare (senza usare la caratterizzazione dei compatti di $RR$) dimostrando per esempio che se $Y$ è sottospazio compatto di $X$ e $X$ è Hausdorff allora $Y$ è chiuso in $X$.

Ah ok ok, grazie

[Angus1956]

Potrei anche dire che siccome $RR\\QQ$ è denso in $RR$ allora $EErinRR\\QQ$ tale che $rin[0,1]$, ora siccome $ QQnn[0,1] $ è denso in $[0,1]$ (ovvero i punti di $[0,1]$ che non stanno in $ QQnn[0,1] $ sono punti di accumulazione per $ QQnn[0,1] $) allora esiste una successione in $ QQnn[0,1] $ che converge a $r$ per cui $ QQnn[0,1] $ non è chiuso in $RR$.