Compatibilità sistemi lineari con parametro
Buonasera, vi mostro il procedimento che ho fatto per questo esercizio che non riesco a risolvere:
$A_j=((1,0,j,2),(2,j-1,j+1,4))$
$B_j=((0),(j-3))$
Si discuta al variare di $j\inRR$ la compatibilità del sistema $A_jX=B_j$, precisando il numero delle soluzioni in caso il sistema risulti compatibile.
Il mio procedimento usuale è questo:
Io so che il sistema è compatibile se e solo se $rank(A_j)=rank(A_j|B_j)$
quindi trovo $rank(A_j)$:
Per il teorema degli orlati considerando un minore M di ordine $p$ a determinante non nullo se tutti i minori di ordine $p+1$ che contengono M hanno determinante nullo allora il rango coincide con p. (correggetemi se sbaglio).
Considero quindi il singoletto $M=(1)$ di ordine $p=1$
tutti i minori di ordine $p+1=2$ che contengono M sono:
$((1,0),(2,j-1)),((1,j),(2,j+1)),((1,2),(2,4))$
Ora dato che tutti e 3 i minori devono essere contemporaneamente uguali a 0 pongo le matrici a sistema e verifico che tutti e 3 i determinanti siano tutti uguali a 0.
$\{(j=1),(j=0),(0),(j=-1):}$
quindi se $j=0,1,-1$ allora $rank(A_j)=1$ altrimenti se $j!=0,1,-1$ $rank(A_j)=2$
Considero $rank(A_j|B_j)$:
Procedo come prima aggiungendo solo una matrice di ordine $p+1$ che contiene $M$.
$((1,0),(2,j-1)),((1,j),(2,j+1)),((1,2),(2,4)),((1,0),(2,j-3))$
Quindi:
$\{(j=1),(j=0),(0),(j=-1),(j=3):}$
quindi se $j=0,1,-1,3$ allora $rank(A_j|B_j)=1$ altrimenti se $j!=0,1,-1,3$ $rank(A_j|B_j)=2$
Ora qui ho le idee confuse, la soluzione dice che il sistema è compatibile per $k!=1$ ma nel mio caso è compatibile.
Non so dove sbaglio qualche aiuto?
$A_j=((1,0,j,2),(2,j-1,j+1,4))$
$B_j=((0),(j-3))$
Si discuta al variare di $j\inRR$ la compatibilità del sistema $A_jX=B_j$, precisando il numero delle soluzioni in caso il sistema risulti compatibile.
Il mio procedimento usuale è questo:
Io so che il sistema è compatibile se e solo se $rank(A_j)=rank(A_j|B_j)$
quindi trovo $rank(A_j)$:
Per il teorema degli orlati considerando un minore M di ordine $p$ a determinante non nullo se tutti i minori di ordine $p+1$ che contengono M hanno determinante nullo allora il rango coincide con p. (correggetemi se sbaglio).
Considero quindi il singoletto $M=(1)$ di ordine $p=1$
tutti i minori di ordine $p+1=2$ che contengono M sono:
$((1,0),(2,j-1)),((1,j),(2,j+1)),((1,2),(2,4))$
Ora dato che tutti e 3 i minori devono essere contemporaneamente uguali a 0 pongo le matrici a sistema e verifico che tutti e 3 i determinanti siano tutti uguali a 0.
$\{(j=1),(j=0),(0),(j=-1):}$
quindi se $j=0,1,-1$ allora $rank(A_j)=1$ altrimenti se $j!=0,1,-1$ $rank(A_j)=2$
Considero $rank(A_j|B_j)$:
Procedo come prima aggiungendo solo una matrice di ordine $p+1$ che contiene $M$.
$((1,0),(2,j-1)),((1,j),(2,j+1)),((1,2),(2,4)),((1,0),(2,j-3))$
Quindi:
$\{(j=1),(j=0),(0),(j=-1),(j=3):}$
quindi se $j=0,1,-1,3$ allora $rank(A_j|B_j)=1$ altrimenti se $j!=0,1,-1,3$ $rank(A_j|B_j)=2$
Ora qui ho le idee confuse, la soluzione dice che il sistema è compatibile per $k!=1$ ma nel mio caso è compatibile.
Non so dove sbaglio qualche aiuto?
Risposte
purtroppo il metodo degli orlati mi sono sempre *rifiutato* di impararlo ed uso sempre Gauss a mio avviso decisamente più pratico e veloce. in questo caso ancora di più dato che la matrice ha solo due righe. io ti consiglio di rivedere l'esercizio in questo modo, dovrebbe semplificarsi notevolmente.
"cooper":
purtroppo il metodo degli orlati mi sono sempre *rifiutato* di impararlo ed uso sempre Gauss a mio avviso decisamente più pratico e veloce. in questo caso ancora di più dato che la matrice ha solo due righe. io ti consiglio di rivedere l'esercizio in questo modo, dovrebbe semplificarsi notevolmente.
Ti ringrazio cooper, sono comunque riuscito a svolgere l'esercizio partendo dal minore più grande anziché da quello più piccolo, comunque terrò in considerazione l'utilizzo di Gauss anche perché con il teorema degli orlati mi sembra sempre di ripartire da 0.
Comunque dalla tua esperienza è sempre stato possibile risolvere i sistemi con il parametro k? in genere nei temi d'esami c'è sempre un esercizio a riguardo ma le matrici sono al massimo 2,3 righe non di più.
"Anacleto13":
Comunque dalla tua esperienza è sempre stato possibile risolvere i sistemi con il parametro k?
intendi usando Gauss? certo: io li ho sempre risolti in questo modo. come già detto mi sembra più pratico ed arrivato in fondo devo solo confrontare le due matrici ed imporre che il rango sia uguale.
Io non faccio testo ma con Gauss fai "di tutto, di più" ... 
"axpgn":
Io non faccio testo
Perché? "cooper":
Come già detto mi sembra più pratico ed arrivato in fondo devo solo confrontare le due matrici ed imporre che il rango sia uguale.
in effetti, purtroppo gli esercitatori ci hanno insegnato in quel modo e non avevo mai preso in considerazione Gauss
.
ad impararlo ci si mette veramente poco. prova a rifare un paio di esercizi per farlo tuo. così quando poi farai le basi e compagnia bella dove magari serve calcolare il rango un po' spesso è più comodo, che con gli orlati si impazzisce un po'.
"Anacleto13":
Perché?
Perché sull'argomento ho solo conoscenze di base ...
Comunque sei vuoi approfondire l'uso delle "mosse di Gauss" questo è un bel sito ...
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